公交车发车时间的数学模型摘要公共交通是城市交通的重要组成部分, 作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改善市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益, 都具有重要意义。
本文主要是研究公交车调度的最优策略问题，针对其多目标、多变量的动态特点，我们以公交线路站点客流量为依据，从出行者的出行时间可靠性及出行时刻、等待时间、途中乘运时间、到达终点的时间以及车厢内满载率较均匀调查入手，通过对出行过程的分析，建立了公交车发车时间表模型。
利用此模型，对出行者在乘坐某路公交车支路公交车中，多种不同公共交通服务水平对出行者的影响进行仿真。
对公交系统运行时间可靠性问题进行了分析探讨，提出了一套基于Matlab软件仿真技术的公共交通系统运行时间可靠性分析和评价方法，并应用所建模型进行对某路公交车支路的发车时间进行可靠性评价。
关键字：最优策略、乘客需求、公交车发车时间表模型、Matlab 、可靠性评价1.问题重述某路公交车支线非周末早晨五一超市发车时间为6:20, 6:30 , 6:40 6:50， 7:05 7:20 7:30 7:40 7:50 8:00某路公交车支线从五一超市出发的到主要站点时间大致为从火车站校医院返回五一超市每个区间运行时间跟来时相同1. 一个人早晨7:30从五一超市坐某路公交车支线车到菜市场，在路上会迎面碰到对面开过来的某路公交车支线，从五一超市开始到菜市场会遇到几辆某路公交车支，相遇的时间分别是几点？2.一般公交车安排时间一方面是保证车不太拥挤，另一方面考虑减少“汇车”。
因此同一线路上的公共汽车满足以下条件：汽车彼此赶不上而且不超车；乘客不用在两辆车的间隙时间内等得太久。
据此评价某路公交车支线早晨发车时间是否合理？2.模型假设1、某路公交车支路6：00以后发第一趟车，晚上20:00以后不发车。
并将这14个小时平均分成l个时段,以1 h 为1 个时段。
则l = 1, 2,…, n , ( 1 <n < 14) 且任一时段内发车间隔相等。
2、各时段的交通繁忙程度是平稳过渡的, 乘客到来的时间服从均匀分布。
3、汽车的速度恒定为20km/ h, 且无特殊事件发生。
4、乘客候车时间一般不超过10分钟,早高峰时一般不超过5分钟。
若有车来, 则所有乘客均能上车,且车辆满载率不超过120% 。
5、某路公交车支路公交车均为同一型号，每辆车标准载客50人。
7、某路公交车支路行驶期间不考虑路况、天气等外在因素。
8、汽车严格按照时刻表运行, 在基本模型中排除汽车中途调头的情况。
(在每一步求解时所需要的假设，在下文中求解过程前给出)3.符号说明4.问题分析本题要求对某路公交车支路发车时间进行评价，保证车不太拥挤，“汇车”量少以及尽量使乘客等车的延误总时间少。
分析如下：对于问题（1）的目标是求出与从7:30发车相遇公交车的数量和相遇时间。
由于题目已经给出了某路公交车支路的发车时间，在不考虑站点停车及认为匀速的条件下，问题一可通过作图法直接解决。
问题二（2）要追求的效果就是减小“汇车”和使车不太拥挤，总的来说就是使公司派出的车数最少；另一方面，又要求顾客等车时间尽可能短。
要使乘客的等待时间缩短, 就得缩小发车的间隔时间, 而这必将会导致公司派车数量的增加, 经济效益的下降。
这说明发车间隔时间和派车数量是一对矛盾, 一个的增加( 或减少) 必然导致另一个的减少( 或增加) 。
我们要找的正是这2两者在一定条件下的一个合理组合点。
从而评价题目所给的发车时间是否合理。
5.模型的建立与求解5.1问题（1）的解决 5.1.1模型分析由于不考虑乘车人数，只是计算从7:30发车到菜市场遇到的车数以及具体的时间，假设速度不变，则所走路程与时间成正比，以时间代替路程即可。
5.1.2模型建立图的模型 w=f （t ）为公交车路程与时间的关系，由以上的假设可知该关系就是直线设为w=at+b ，当t=0时，w=0，该模型简单的服从t v w *=，而在公交车站点所耗的时间我们认为它已包含在上面所给的时间当中，用如下图就可以解决。
w图一 6:20从五一超市发车路程时间关系曲线6:40 6:50， 7:05 7:20 7:30 发车是6:30发车的延迟 模型如下：去程的方程为()l vt w i =延迟的路程可以表示为()()t l t v w i ∆-= 返程可以用0()2i w v l t w =-+对应的其延迟为()()()v l t t l t v w i i 2+∆--= 目标函数：0()2()34i i i v l vt l t t t w t t -+=⎧⎪-=∆⎨⎪≤⎩其中，i t ∆为7:30与各发车时间的间隔，即i t ∆为7:30-6:20,7:30- 6:30 , 7:30-6:40 ，7:30-6:50， 7:30-7:05，7:30-7:20。
又由于到菜市场所以34t ≤。
5.1.2模型求解利用matlab 软件编程求解，计算结果如表二：表二 与7:30发车相遇的车次时刻表5.2问题（2）的解决方案及模型 5.2.1模型分析为了减小“汇车”，应使得车数较小；另一方面，要使顾客等车时间尽可能，就得缩小发车的间隔时间, 而这必将会导致车的数量的增加。
这说明发车间隔时间和车数量是一对矛盾, 一个的增加( 或减少) 必然导致另一个的减少( 或增加) 。
在假设乘客到来时间服从均匀分布的条件下，建立一个线性规划模型,使每辆车的总载客量S 达到最大，来解决问题二。
5.2.2模型建立1）某路公交车支路从起始站开到第j 站时车上现有的人数为∑=-ji ii l l y x 1)]()([，当j 分别取1,2,...,r,就得到了车在A 1，A 2，...A r 各站时的人数，由于越靠近终点站，上车人数)(l x i越少，而下车人数)(l y i越多，故)(l x i-)(l y i可能会出现负值，该累计值到一定站点以后会随着j 的增大而减小，故最拥挤的站点出现在终点以前，其位置及人数可通过max ∑=-ji ii l l y x 1)]()([确定。
又因为每隔)(l t ∆分钟就发一班车, 故每一班车驶完全程可能载到的最多乘客数应满足 ()12060)()()(1max ≤⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-•∆∑=ji iij l l l t y x 2）由于各相邻站间距离已知, 而某路公交车支路又作匀速运动, 故可求得某路公交车支路从一个站运行到另一个站所用的时间t i , 汽车运行总时间除以出车数()l m发车时间 相遇时间 第一次相遇 6:20 7:35 第二次相遇 6:30 7:40 第三次相遇 6:40 7:45 第四次相遇 6:50 7:50 第五次相遇 7:05 7:57:30就可得发车间隔()()l t l m ri it=∑=1②3) 上述约束条件下, 求一个目标函数使得公交车数目最少,即每辆车的总载客量达到最大()()()[]∑∑==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-•∆=r j j i iit t l t s y x 1160由①② 可知数学模型为 ()()()[]∑∑==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-•∆=r j ji iit t l t s y x 1160max()()()[]()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-•∆∑∑==l t l m l l l t r j ij i i it y x 1160max5.2.2模型求解：由题可知，某路公交车支路上行共有6站，车速20km/ h ，每辆车标准载客50人，乘客候车时间一般不要超过10 min,早高峰期一般不要超过5 min. 则具体的调度模型为max ()()()[]∑∑==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-•∆=r j j i iit t l t s y x 1160()()()()()(){()11105max 60600t l 10j i i i ri j l l t l t l m l y x t ==⎧⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎪∆•≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎨⎪⎪==⎪⎪⎪≤∆≤⎩∑∑早高峰时期利用Lindo 软件和Matlab 软件求解每个时间段的发车间隔时间的计算结果如表三 表三 每个时间段的发车间隔时刻表 时间段 6:00-7:007:00-8:008:00-9:009:00-10:00 10:00-11:00时间间隔10.0 7.0 5.3 6.8 7.0时间段 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 时间间隔6.07.28.2 8.3 6.8 时间段 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00 19:00-20:00 时间间隔5.610.713.514.8为便于观察，改画为直方图：由直方图可清楚明了的得出普通间隔10分钟，高峰5-8分钟，夜间12-15分钟。
因此，题中所给的某路公交车支路发车时间在此种假设和此种模型下可认为是合理的。
6.模型的评价在本题的过程中针对不同的题意要求，建立了相应的数学模型，并具体应用了不同的方法，得到了相对合理的答案。
下面就此题的模型进行分析评价：本模型总体细致全面，紧密的结合了实际情况，具有较高的准确性和可操作性，而且实用价值也比较高。
本文针对不同要求进行了建模，并充分利用所给信息, 运用Matlab 和Lindo 软件进行求解，得到了非均匀的发车间隔, 实现了乘客等车时间最小, 既减小了“汇车”又使得车不拥挤，克服了以往相同发车间隔的缺点, 并在算法求解时引入车厢满载率, 用该参数控制不同时段车厢内人数, 以满足车厢内乘客的舒适程度和服务水平。
7.模型的改进在上述模型中我们是假定乘客的到来时间服从均匀分布, 然而在现实中并非如此理想。
因此必须对模型进行改进。
由于指数分布具有无后效性这一性质, 而且乘客的到达间隔时间是独立同分布的随机变量, 所以在下一步的工作中我们将尝试运用排队理论来进行优化。
将用以下公式代替均匀分布，其他不变。
()!()ntn t n t e P λλ-=（n=0,1,2，…N ）8. 参考文献【1】 姜启源等著，《数学模型》第三版，北京：高等教育出版社，2003年。
【2】 赵静、但琦，《数学建模与数学实验》第三版，高等教育出版社，2008年。
【3】 楼顺天等，《MATLAB 7.0程序设计语言》第二版 ，西安电子科技大学出版社，2007年，页码：28-78。
【4】叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材[ M]，长沙: 湖南教育出版社, 1994年。
【5】 谢金星，薛毅，《优化建模与LINDO/LINGO 软件》，北京：清华大学出版社，2005年7月。