公交车调度的数学模型摘要随着人口的增加以及现代化建设的加快，城市人口迅猛增长，城市公共交通面临着巨大的挑战。

为缓解城市交通的拥堵，除了提倡错峰出行、减少私家车出行之外，对公共交通设施进行合理的调度也特别重要。

本文正是通过已知的某条公交线路的客流调查和运营资料，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，以解决该条公交线路上公交车的调度问题。

公交车的运营可以产生经济效益和社会效益，两种效益的关系是对立统一的，当乘客人数一定的情况下，产生的经济效益越高，即同一时段公交车的数量越少、发车次数越少，社会效益就越低；同理，产生的社会效益越高，经济效益就越低。

故在制定公交车调度方案时，我们要综合考虑经济效益与社会效益。

公交车产生的经济效益由公交车的满载率、运营所需的公交车总数、运营时间内总发车次数所决定，而社会效益则由乘客的等待抱怨度以及拥挤抱怨度所决定。

通过分析，我们发现要使公交车的运营产生最大的效益，既要使公交车的满载率最大、所需公交车总数和发车次数越小、乘客等待抱怨度和拥挤抱怨度最低，同时，我们发现在某段时间内乘客人数一定的条件下，这些决定因素本质上都是由某段时间内的发车次数所决定的。

因此，我们可通过建立多目标的优化模型、采用遗传算法、用Lingo 软件编程进行求解。

最后，我们得出要使乘客与公交公司的利益最大化，全天需要公交 52 辆，共需发车 445 次，并绘制出上、下行起始点发车时刻表。

关键词：公交车调度多目标优化模型遗传算法Lingo编程1、问题重述众所周知，公共交通是城市交通的重要组成部分，一个好的公交车调度方案对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。

本文需要研究的是某一大城市一条公交线路上公交车的调度问题，附录一给出了一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计表。

该条公交线路上行方向共 14 站，下行方向共 13 站。

公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客 100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为 20 公里 / 小时。

为了同时考虑乘客和公交的双重利益，运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过 10 分钟，早高峰时一般不要超过 5 分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%。

本文需要解决的问题有：问题一：为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表。

问题二：制定的调度方案中总共需要多少辆公交车。

问题三：这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益。

2、问题分析本文研究的是某公交线路上公交车的调度问题。

要对公交车进行合理的安排，就要有合理的安排规则。

题目要求我们最终得到的安排方案要照顾到乘客和公交公司双方的利益，那么我们必须先找到影响乘客和公交公司利益的因素。

不难发现，影响公交公司利益的因素为平均载客率、公交车的总数量以及发车次数；影响乘客利益的因素为乘客等车时长和公交车拥挤程度。

对这四个因素进行分析，我们可以得出一些结论： 1、同一时段公交车的数量越多，乘客等车时间越短、平均满载率和公车拥挤程度越低；相反，公交车的数量越少，乘客等车时间越长、平均满载率和公交车拥挤程度越高。

2、所需公交车的总数量取决于每个时段内所需公交车数量的最大值。

因此，这四个影响因素可以总结为每个时段内的公交车数量。

针对问题一：为了简化模型，我们将全天公交车的运行时间以一小时为单位进行分割，将上、下行线分成十八段进行计算，为了同时照顾乘客和公交公司的利益，使公交公司经济效益最大化，乘客等待时间最短和乘车舒适度最高。

我们可以用平均满载率来衡量公交公司的利益，用乘客等待抱怨度和拥挤抱怨度来衡量乘客的利益。

根据上述分析，我们可建立多目标的优化模型，进行求解。

但是在求解过程中发现多目标模型求解比较困难，所以我们加入优先因子，采用遗传算法利用lingo 软件进行求解。

又因为相邻两辆车发车时间间隔相等，所以可以得到全天的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表。

针对问题二、三：问题一求解出来后，问题二、三便迎刃而解。

3、数据分析根据问题分析，我们对已知数据进行简要分析。

对于公交公司，当满载 120 人时公交公司最满意，人数越少，满意度越来越低。

对于乘客，可设当等车时间不超过 5 分钟，车辆满载率不超过 100%时，乘客满意度为 1，随着等待时间增加和车载率的上升，乘客满意度会逐渐下降。

我们取当公交车平均载客人数分别为 120 人， 100 人， 50 人试作分析。

考虑上行方向，当 p ik j 120 人时，第 18 段无需考虑，mg ij p ik j ，则公交12017 pjk mgij公司满意度 mg j 1 =0.9722 。

乘客的满意度由发车车次数n j和发车时17p jkj 1间间隔t jk，算出乘客的满意度mc =0.7334 。

当 p ik j100 人时，公交公司满意度mg =0.8116, 乘客的满意度为mc =0.9218 。

当 p ik j50 人时，此时公交公司的利益达到最小，相应的乘客满意度会变大，公交公司满意度mg =0.4207,乘客满意度mc =0.9800首先考虑上行问题：根据公交公司的满意度和乘客的满意度的对应关系，(0.9722 ，7334) 、( 0.8116 ，0.9218) 、( 0.4207 ，0.9800) ，可以利用二次拟合得出公交公司和乘客的函数f(mg 1) ：mc 1.8737mg2 2.1694mg 0.3953( 0.4270 mg10.9722 ) 拟合曲线如图 1（相关程序见附录二）：上行时 (mg,mc) 的拟合曲线1.110.9cm0.80.70.20.30.40.50.60.70.80.9 1mg图 1上行方向公交公司满意度与乘客满意度关系图本题要求我们最大照顾到乘客和公交公司双方的利益，这就要求mc mg 1 能尽可能取大，即满足双方的利益最大化；同时我们也要使得双方满意度的差不能太大，即 mc mg 尽可能取小 .其次，我们考虑下行问题，同理可利用二次拟合的到乘客满意度与公交公司的满意度函数关系：mc 1.9617mg2 2.2797mg 0.3720 ( 0.4295 mg20.9648 ) 拟合曲线如图 2（相关程序见附录二）：下行时 (mg,mc)的拟合曲线1.0510.950.9cm0.850.80.750.70.650.20.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1mg图 2下行方向公交公司满意度与乘客满意度关系图故可求得公交公司和乘客的日最优满意度是 mc2=0.8702 ，mg2=0.8702 。

所以全天上、下行乘客和公交公司的平均满意度为（ 0.8688 ，0.8688 ）。

4、模型的假设与符号说明4.1模型的假设假设 1：秉承排队上车的优良传统，先来先上。

假设 2：每一个时间段内乘客等概率出现。

假设 3：乘客上下车的时间可以忽略不计，公交车即停即走。

假设 4：不考虑公交车故障、红绿灯停滞及堵车等情况的发生。

假设 5：在同一时间段内 , 相邻两辆车发车时间间隔相等假设 6：一个时间段内乘客上车总量达到 4000 以上，则将此时间段列为高峰期。

假设 7：车辆上行或下行到达终点站时, 所有的乘客全部下车。

假设 8：无论是上行还是下行 , 经过几个站 , 车票价为定值。

4.2符号说明符号符号说明n第j时段内发车次数，j 1,2,,18 （下同）符号k上jk下jkjk t ik j tik t j T j p ik j P Z c ik j C w ik j W G t N I符号说明公交车经过的站点数，k 0,1,2,,13 （下同）第j 时段内在第 k 站需上车的人数第j 时段内在第 k 站需下车的人数第j 时段内在第 k 站变化的人数第 j 时段内第 i 辆车到达第 k 站所需的时间，i1,2,, n j（下同）第i 辆车从第 k 1站到第 k 站所需的时间（当 k 1时）第j 时段内相邻辆车发车的时间间隔第j 时段的起始时间第j 时段内第 i 辆车经过第 k 站后车上的人数所有车上人数之和汽车平均满载率第 j 时段内第 i 辆车离开第 k 站时的超载人数平均拥挤抱怨度第 j 时段内第 i 辆车到达第 k 站时等待时间超过忍耐时间的人数平均等待抱怨度t时刻不在起始点的车辆总数全天发车总次数全天所需公交车总数5、模型建立与求解5.1模型建立根据附录一，我们可将公交车时间分为j 段， j 1,2,,18 ，并算得在各个时间段上、下车的总人数，所得结果用 Matlab 绘制成图（相关程序见附录三），如图 3、4 所示。

图 3下行方向各时段上、下车总人数直方图图 4下行方向各时段上、下车总人数直方图由图 3、4 可看成，上行方向在6：00-9:00 、16:00-18:00处于高峰时段，即 j 2,3,4,12,13 ，下行方向在7：00-9:00 、16:00-19:00处于高峰时段，即j3, 4,12,13,14。

在建立模型时，我们不妨先考虑上行方向，建立多目标的非线性优化模型。

5.1.1 确定约束条件根据附录一（上行方向公交汽车各时组每站上下车人数统计表）可知，371 60 11 0 0 8 8557 1990376680 99921 615上jk，下 jk20937 6 0 0 14 128 92 1931 0 0 332 21则，371 52 74 571990277853615jk 上jk下jk（1）209 23 122 92193121又已知第 i 辆车从第 k 1站到第 k 站（当 k1 时）所需的时间为tik第 k 1站与第 k 站的距离60公交车行驶速度 =20km/h则通过计算可得tik4.8 1.5 3.0 2.19 6.12 3.78 6.87 3.0 3.6 1.2 3.0 3.09 1.59 （2）第 j 时段内相邻辆车发车的时间间隔为t j T j 1 T j60（3）n j n j由式（ 1）、（2）、（3）可得pjk 1tikjkt ikjTj 1p ik ji（4）p jtikt ik jk 1j 1 kTj 1i由式（ 4）可知18n j 13Pp ik j（5）j 1 i 1 k 0j j100（ ）cikpik6则ZP（7）18100 n jj 1根据式（ 5）、（6）可得C 由式（ 2）可知18nj13c jj 1 i 1 k 0ik（8）Pmax 上jk tik 10 j 2,3, 4,12,13w ik jtik (9)max 上jk 5 j 2,3, 4,12,13 则由式（ 5）、（9）可知18 nj 13 w jj 1 i 1 k 0 ikW （ 10）P根据题意可知，全天所需公交车总数为I max G t，全天发车总次数为18N n j。