三线扭摆测定物体的转动惯量摘要：通过实验熟悉秒表、水平仪、游标卡尺、米尺等仪器的使用，掌握质量和周期等量的测量方法；了解用三线摆测转动惯量的原理和方法，研究刚体转动惯量与质量分布的关系；最后巩固误差并对测试结果做了分析。

关键词：转动惯量； 质量分布；三线扭摆；平行轴定理引言转动惯量是表征刚体转动特性的物理量，是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体质量的大小、转轴的位置和质量分布等有关。

对于简单形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状复杂的刚体，如机械零件、枪炮弹体等，用数学方法计算它的转动惯量就非常困难，有时甚至不可能，一般用实验方法测定。

测定刚体转动惯量的方法有多种，本实验采用三线扭摆法。

正文1 转动惯量刚体和质点是力学中两个理想模型。

在刚体动力学中，刚体转动的角加速度正比于合外力矩，即M=J β，式中 J 是一个联系力矩与角加速度之间的物理量，称为转动惯量，转动惯量与刚体的总质量有关，与转轴的位置有关，还与质量相对定轴的分布有关。

一个刚体绕定轴转动的转动惯量等于每个质元离转动轴距离的平方与质元质量的乘积对整个体积的积分，即 2vJ=r dm ⎰。

2 三线扭摆2.1 测圆盘绕中心轴转动的转动惯量三条等长的悬线端点分别位于两圆盘的两个正三角形顶点上，如图所示，设圆盘质量为0m ，把它绕'OO 扭转一个小角度θ，如果取它的最低位置为势能零点，撤去外力矩，在这个过程中由机械能守恒定律得200max 12m gh J ω=（ 1 ） 式中 J 0 是圆盘绕中心轴的转动惯量， 2max ω是经过平衡位置时的瞬时角速度， h 是上升的高度。

本实验要求 max θ﹤ 0.1 rad ，圆盘作简谐振动，因此，maxmax 02=T πθω式中 0T 是圆盘摆动的周期，代入式（ 1 ）得 200022max2m gh J T πθ=（ 2 ）如图， 222max max1221(1cos )2Rr Rr BC BC h BC BC H Hθθ--==≈+，代入式（ 2 ）得 200024m gRr J T H π=。

2.2 测定圆环的转动惯量圆环转动惯量的理论值是 221112()2m J R R =+，式中 R 1 和 R 2 分别为圆环内外半径。

将被测圆环放在下圆盘上，使两圆心重合。

设圆环的质量为 m 1 ，则系统的总质量为 m 1 + m 0 ，系统的转动惯量为 J ，摆动周期为 T 1 ，则有 20112()4m m gRr J T Hπ+=，所以圆环的转动惯量10J J J =-。

2.3 测定圆柱的转动惯量将两个质量均为M ’、半径为R X 、形状相同的圆柱体对称地放置在悬盘上，柱体中心离悬盘中心的距离为x ，按上法测得两圆柱体和悬盘绕中心轴的转动周期为T 想，则两圆柱体绕中心轴的转动惯量为：202(2')24x x m M gRrT J J Hπ+=- 根据转动惯量的平行轴定理，圆柱体绕中心轴的转动惯量的理论计算公式为：22''2x x M R J M x =+。

3 实验仪器三线扭摆、圆环一个、圆柱两个、秒表、水平仪、游标卡尺、米尺4 用三线扭摆测定物体的转动惯量实验过程a.调整悬盘水平：将水平仪置于悬盘任意两悬线之间,调整上盘上的三个旋钮,使水平仪的气泡在中间.再把水平仪放到另外两悬线之间,调整上盘上的三个旋钮,使水平仪的气泡在中间,这时悬盘水平.b.测定仪器常数R , r ：r 和R 分别为上下圆盘中心到悬点的距离,通过测出的两圆盘的相邻两个悬点间的距离a 和b 由等边三角形关系算出r 和R.c.测出两盘之间的垂直距离H、圆环的内外直径2R1和2R2、圆柱体直径2Rx及圆柱体中心至悬盘中心的距离x.并测量圆环,圆柱体和悬盘的质量（M、M’、m已标明）.d.测量空盘绕中心轴AB转动的运动周期:轻轻转动上盘(上盘上有小转动杆),带动下盘转动,这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动.注意扭摆的转角控制在5°以内.用积累放大法测出扭摆运动的周期(测量摆动50次所需的时间)，重复三次取平均值，求出悬盘的摆动周期T.e.测量待测圆环与下盘共同转动的周期:将待测圆环置于下圆盘上,注意使两者中心重合,按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期T1.测出两个小圆柱体(对称放置)与下盘共同转动的周期Tx.f.记录好以上各物理量.4．1 数据记录及处理g(重力加速度)= 9.793 m/s2 m0（圆盘） = 380 gm1（圆环） = 1182 g m21（圆柱）= 137 gm22（圆柱）= 137 g x(两圆柱离中心距离)= 4.50 cm表 1 待测刚体的有关尺寸数据的记录及简单计算表2 待测刚体的摆动时间的数据表（周期数为35）4.2 实验过程记录1）各个多次测量的物理量的平均值及不确定度：501049.45()5ii t t s ===∑；00.04t s ==0.04t u===; t 0=49.45±0.04(s)511148.92()5ii tt s ===∑；1)t S s =10.05t u===（s ）; t 1=48.92±0.05(s)521247.08()5ii tt s ===∑;2)t S s =20.25()t s u===; t 2=47.08±0.25(s)2） 待测物体的转动惯量 下盘加圆环： a ）空盘的转动惯量：3222220000022220321182109.7937.6681016.091049.45()1212 3.1444.89103545.347510(.)m gRr m gab I T T H H kg m ππ-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=⨯ b ）空盘加圆环的转动惯量：232212102212032()(3801182)109.7937.6681016.0951048.92()12 3.1444.891035126.966810(.)m m gabT H kg m I π-----++⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=⨯c ）圆环的转动惯量平均值：33210(6.9668 5.3475)10 1.619310(.)I I I kg m --=-=-⨯=⨯圆环转动惯量结果表示：I u ===521.66310(.)kg m -=⨯=〉32(1.6190.017)10()0.017100%100%1%1.619I I IrI I u k u u I-⎧=±=±⨯⎪⎨=⨯=⨯=⎪⎩g.m 下盘与两圆柱体：222220202021********002200222232242[()][()]4129.7937.6681016.0951047.0849.45[(1371371182)()1182()]1012 3.1444.891035356.258710(.)x gRr gab I I I m m m T m T m m m T m T H H kg m ππ-----=-=++-=++-⨯⨯⨯⨯=++⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⨯x I u ====526.307410(.)kg m -=⨯结果表示：42(6.30.6)10(.)100%9%xxx x I I Ixr x I I u kg m u u I -⎧=±=±⨯⎪⎨=⨯=⎪⎩理论公式： 3)百分误差的计算a)圆环的转动惯量理论公式：223224321121I ()38010(10.01615.010)10 1.546710(.)448D D m kg m ---=+=⨯⨯⨯+⨯=⨯内外理论相对误差：1.6193 1.5467100%100% 4.7%1.5467I I I --⨯=⨯=理论理论b)圆柱的转动惯量理论公式：22212221222122123222242I ()()()2224113710[(2.49010)(4.510)]82.88010(.)m m x x m m D D kg m ----++++=+=⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯2122x 理论 相对误差：2 6.2587 2.8802100%100%8.7%2 2.8802x I I I --⨯⨯=⨯=⨯理论理论4.4 实验结果分析 4.4.1 实验结果分析① r,R 仅为轴心到悬孔之间的距离，不能代表真正悬盘的半径大小。

R 实=8.500cm . R=7.983cm 造成J 的理论值比实际值偏大，因此，将R 0代入数据将更准确，更接近于真实值。

② 测量H 时应先稳住悬盘，使直尺与悬盘保持垂直，并最后减去直尺边缘至“0”刻度线的一小段距离。

③ 小圆柱体在圆盘上应对称放置，且x 值不能直接得到，应用中心至圆柱体内侧边缘的距离加上小圆柱体的半径。

④ 测量圆环的内外直径时，不易把握位置，常常导致测量结果偏小。

总结：最终得出实验值和理论值的误差都在3%以下，说明三线扭摆法测转动惯量是一个比较准确的方法。

而测量周期时取50次求平均也有效地减小了误差。

4.4.2 阻尼作用分析众所周知，阻尼作用使振动发生频移为20002λωωωωω∆=-==-002T πω=是无阻尼的谐振动的圆频率， 系阻尼指数。

阻尼引起周期的误差为220222200()1()288T T E T T nλωλωωππ∆∆==-===阻尼式中n=(λT 0) -1 是振幅衰减e 倍所需经历的振动次数。

实验证实，在正常的空气环境中，n>50 是相当保守的估计，因此5()10E T -<阻尼本文可忽略阻尼的影响。

22221()()()81()()()8s s a a E T E T E T E T αβαβ≈++≈++测测，其中(α2+β2)/8 为系统误差， 只需适当调平上、下圆盘，就可使此误差小于10－4。

重点应放在正确地测量周期并适当增加测量次数，以使多次周期测量的相对误差E 测（T s ）和E 测(T α)尽量减小，这对于间接测量更为重要。

间接测量时，尽可能选用重量轻的下圆盘，也能减小实验误差。

6 结语转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。

对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。

三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。

本文介绍了三线扭摆法测转动惯量的方法，并进行了实际测试。

测试结果表明用三线扭摆法进行测量转动惯量准确度较高但仍存在一些误差，如空气中产生的阻尼作用使周期变长等，我们的工作仅是初步的，还要采取其他措施来提高测量转动惯量的准确性。