高中数学排列组合应用题的教学
摘要：排列组合应用题思维抽象，解法独特且灵活多变，搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。
加法原理和乘法原理是推导排列组合种数计算公式的重要依据，也是解排列组合问题的关键。
关键词：排列；组合；应用题
中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）14-108-01
排列组合应用题思维抽象，解法独特且灵活多变，搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。
那么，如何搞好这部分内容的教学呢？笔者结合自己多年的教学经验谈几点体会。
一、抓住“两个原理”
重视对“两个原理”的教学。
“加法原理”和“乘法原理”是推导排列组合种数计算公式的重要依据，也是解排列组合问题的关键。
让学生明确在考虑应用两个原理解决问题时，要注意“完成一件事”的办法是分步进行还是分类完成。
如果是分步进行，就找出完成每一步的方法数，运用乘法原理来解决；如果是分类完成的，就找出每一类的方法数，运用加法原理来解决。
例1：有五个球要放在三个盒中，共有多少种不同的放法？
此问题的关键是5个球都要放到盒中，而每个球都有3种放法，把其中某个球放到盒中是完成“5个球放到盒中”这件事的一个步骤，
只有5个步骤全部完成这件事才算完成，按乘法原理有3×3×3×3×3﹦﹦245（种）
例2：从甲地到乙地每天有1班火车，2班轮船，4班汽车。
王红要从甲地到乙地，乘坐这三种交通工具一天有多少种不同走法？此问题的关键是王红无论乘火车、乘轮船还是乘汽车都能完成从甲地到乙地这件事，且乘火车有1种方法，乘轮船有2种方法，乘汽车有4种方法，按加法原理有1+2+4﹦7（种）
二、辨清“排列”“组合”
在解排列组合应用题时，在明确了使用哪个原理的同时，还要提醒学生注意分辨是排列问题还是组合问题。
排列是按一定顺序排成的一列元素，两个排列的不同，意味着两个排列的元素不同或元素相同，但元素的排列顺序不同。
组合是无顺序约束的一组元素，两个组合的不同，意味着当且仅当两个组合元素的不同。
例3：用1分、2分、5分的硬币各一枚，可以组成多少种不同的币值？
三种硬币组成不同币值的方式可分为三类，即分别用一枚两枚三枚组成，且无论用几枚硬币所组成的币值种数与硬币的排序无关，因此是组合问题，共7种
例4：某信号兵用红、黄、蓝三面旗，从上到下插在竖直的旗杆上表示信号，每次可插一面、两面、三面，一共可以表示多少种不同的信号？
解此类问题时要求学生联系实际。
挂旗表示信号，与各色旗的上下
顺序有关，因此是排列问题。
信号又可分为三类，用一面旗、两面旗、三面旗都可独立表示不同信息，因此有15种
三、总结常用方法
讲排列组合应用题时，从不同角度分析问题，再把学生的解题方法汇集起来，然后让大家讨论，哪种方法巧妙，哪种方法带有一般性，是常用方法。
经归纳总结，解排列组合应用题有以下几种常用方法。
1、直接法。
就是根据题中的约束条件，直接使用两个原理，从正面求出符合题意的排列（组合）种数。
例5：五人并排照相，甲必须在中间有多少种不同排法？
解：假设有排好了顺序的五个位置，不考虑甲，先在四个人中选一人站在一号位，再从其余的三人中选一人站在二号位，三号位留给甲，四号位从余下的二人中选，剩下的1人就是五号位了。
共有排法24（种）。
也可从把除甲外的四人全排，在每一种排法中让甲站在中间有24（种）。
2、间接法。
就是从不考虑约束条件的排列（组合）中剔除不符合约束条件的排列（组合）种数。
如例5的间接求法。
解：把5个人的全排列剔除甲不在中间位置的排法，有24种。
3、特殊元素优先法。
排列组合问题中有些元素有一定的特殊约束条件，求解时先考虑有特殊约束条件的元素。
如例5，甲是有特殊约束条件的元素，所以先把甲放在中间位置，其余4人在另外四个位置任意排列，有24（种）。
4、捆扎法（或并元法）：排列问题中往往要求某些元素必相邻。
解
这类问题时可把这些元素捆扎在一起并作一个元素加以排列
例6： 5个人并排照相，甲乙二人不分开有多少种不同的排法？解：可分两步。
①把甲乙二人捆扎在一起看作一个元素与其余三人进行全排列，有种，②再把甲乙二人全排列有种，由乘法原理有48种。
5、插空法。
排列题经常有某两个元素不相邻的排法。
解题时可先排无约束元素，再把有约束元素插在已排好顺序的空中。
例7：5人排成一排照相，甲乙两人不相邻有多少种排法？
解：分两步：①先把其余三人全排，有种，②三人排好后有4个空可插，甲乙任选二空有种，由乘法原理有72种。
6、先组后排法。
有些数列可通过先组合后排列两步完成。
例8：从1、3、5、7、9中取三个数字，从2、4、6、8中取两个数字，共能组成多少个无重复数字的五位数？
解：分三步：①从1、3、5、7、9中取三个数不考虑顺序，有种取法，②从2、4、6、8中取两个数亦不考虑顺序，有种取法，③对取出的五个数进行全排列有种，由乘法原理共有7200种。
教师在帮助学生归纳出以上几种常用方法后应指出：在解排列组合应用题时要广开思路，不能死记硬背硬套方法，要善于变通。
总之，在排列组合应用题的教学中，教师要引导学生在做题前一定要认真审题、慎密思考，分清“完成一件事”是过程分步还是方法分类；是排列问题还是组合问题。
经过训练，由单一到综合，由简单到复杂，再难的问题也可以解决了。