遗传
可乘 有 有 无
连续映射下 满和开 有 有
A1 , A2
可分空间 Lindeloff 空间
有 无 无 有闭遗传
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分离性 遗传 可乘 有 有
无 有
连续映射下 无 无
无 无
T0 , T1 , T2
正则性
正规性
有 有
无 有闭遗传 无
T3 T4
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3. 设(X，T)是拓扑空间，则下列说法不正确的是:
4.设X={ a, b, c, }， 则点b的邻域系为：
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5.设X={ a, b, c, d}， 则下列子空间不连通的是：
6.设X={ a, b, c, d}， 则（X，T）的连通分支是：
拓扑空间总复习题
基本概念
一. 度量空间 1. 度量空间的定义 2. 度量空间的其他概念
3. 度量空间中的连续映射 二. 拓扑空间的定义 1. 拓扑空间的定义（包括子空间与积空间 2，常见的拓扑 3. 拓扑空间的其他概念 4，拓扑空间的连续映射与同胚映射
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2. 设 T 1, T 2 是集合 X 的两个拓扑，则 T 1 T 2 不一定是 集合 X 的拓扑( × )
3. Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.(√ )
4，设 A, B 是拓扑空间 X 的两个紧致子集，则 A B 是一个紧致子集.( √
是 T4 空间.( × )
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7
8
9
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10
11
12
13
14
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二，填空题 1. 在实数空间R中，有理数集Q的导集是 ( R )
A { x}) 2. x d ( A) 当且仅当对于的每一邻域有 U ( ()
3. 设 A 是有限补空间 X 中的一个无限子集，则
d ( A) =（
X ）
4. 、若拓扑空间 X 存在两个非空的闭子集 A, B , 使得 A B , A B X ,则 X 是一个（ ） 不连通空间 5.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ( ) 可分空间
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三，判断题 1。从离散空间到拓扑空间的任何映射都是 连续映射( √ )
一个同胚映射 f : E 2 E ,令
此时, g 是连续的,并且有
g( E 2 {0}) E { f (0)}
所以E { f (0)}应该是连通,
而 E { f (0)}不是区间,所以不连通.矛盾
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17. 18.
19. 20. 设A是实数空间R的一个子集．A是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当A是一个区间．
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7.
8.
9.
{ x} T
c
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10.
11.
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12.
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选择题
1
2
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三. 拓扑空间中的性质
1. 连通性与道路连通性
2. 可数性 3. 分离性
4，紧致性
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连通性，道路连通性与紧致性
遗传 连通性 道路连通性 紧致性 无 无 无 有闭遗传
可乘 有 有 有
连续映射下 有 有 有
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)
3} ， T { X , ,{1},{3},{1,3}} ，则 ( X , T ) 5，设 X {1, 2，Biblioteka 五，证明题 1.2.
3.
举例说明 T1 T2 不是拓扑
4.
5.
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6.
7. 8. Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．
无
无
无
Hausdorff空间： 闭集 紧致子集 紧致的hausdorff空间： 闭集 紧致子集
紧致空间： 闭集 紧致子集
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一，选择题 1.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中不是X的拓扑的是
2.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中是X的拓扑的是
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f (t ) (cos2t , sin2t ) S 1
1 1 S f ( E ) S f 是一个连续映射，且 ,所以 是连通的
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证明欧氏平面 E 2 和实数空间E不同胚．
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证明:
用反证法,假设 E 2 和E同胚,则存在
g f
2 : E {0} E E 2 { 0 }
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9. 10. 11. 12. 13. 14.
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证明欧氏平面 E 2 中的子集
S 1 {( x , y ) x , y R, x 2 y 2 1}是连通的.
证明: 定义映射 f : E S 1 ,使的对任意t R