（7.1）
其中,ε指的是随机误差。
称为回归的主值，称（7.2）式为回归方程。
（7.2）
2．回归分析的任务
回归分析的一个重要任务是求出回归方程右边的函数表达式。实际求回归方程的步骤
为：首先进行试验与调查；其次在大量试验与调查的数据资料基础上，按照对实际数据作最
佳拟合的原则求取具体的回归方程。
3．回归分析的种类
一、回归分析的基本原理 （一）意义 1．回归分析是借助于数学模型对客观世界所存在的事物间的不确定关系的一种数量化 描写，其目的在于为不确定现象的研究提供更为科学、精细的手段，以应用于相关随机变量 的估计、预测和控制。 2．回归分析是统计分析中的一种重要手段，首先发现回归现象的是英国生物学家高尔 顿和皮尔逊，其根本目的是要借助于因变量和自变量的分类，在概率统计的意义上，把变量
若把观测数据描成散点图，则其形状基本组成一个椭圆，也就是说这些点基本上是围绕一根 直线振动，这根直线就是椭圆的长轴所在位置。必须注意的是，一般来说所求一元线性回归 方程并不是椭圆的长轴，要求这条直线方程，必须按照最佳拟合的原则用最小二乘法。
1．一元线性回归的模型
Hale Waihona Puke 其中的一元线性回归方程记为： y＝α＋βx
4．计算均方
回归均方： MSU U dfU
剩余均方： MSQ Q dfQ
5．检验统计量： F MSU MSQ
6．将所求数据填入方差分析表
（7.5）
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7．查表，做出统计决断。
称为变量 y 对变量 x 的一元线性回归方程。 2．一元线性回归模型的性质
（7.4）
在一元线性回归模型 线在 y 轴上的截距。
（二）一元线性回归方程的建立
中，系数β是这条直线的斜率，α是这条直
要建立一元线性回归方程
，实际上就是要确定方程中的两个参数α与β。
由 n 对样本数据建立因变量 y 对自变量 x 的一元线性回归方程的步骤如下：
（1）根据所求回归方程函数类型的不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
（2）根据内含自变量个数为一个还是多个而分为一元回归分析和多元回归分析。
（三）主要内容
回归分析包括三部分内容：建立回归方程、检验和评价所建回归方程的有效性、利用所
建回归方程进行预测和控制。
1．建立回归方程
（1）依据专业知识调查所研究现象可能涉及到的变量的种类和个数。
7.1 复习笔记
以相关关系描述两个变量之间的不确定性关系，只能对它们之间的密切程度作描述。回 归分析可以在描述变量之间不确定关系的基础上，进一步通过自变量去估计和预测因变量的 发展及变化，并且能较好地以回归系数表现各自变量对因变量的影响。回归分析既可以应用 于有明确因果关系的变量研究，也可以应用于无明确因果关系的变量研究。
二、一元线性回归分析 （一）一元线性回归的模型及其性质 一元线性回归研究的是具有线性相关关系的因变量和一个自变量之间的回归问题。确认 因变量 Y 只受一个自变量或者主要受一个自变量 X 的影响，并且确认两者之间的线性关系。
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（2）进行实验或调查以获取实际数据。
（3）结合以往的经验，对所获数据进行分析研究，确定回归方程的函数形式。
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（4）根据最佳拟合原则估计回归方程中的所有参数。 （5）建立一个回归方程。 2．检验和评价所建回归方程的有效性 （1）对所建立的回归方程作有效性检验，检验方程有无使用价值。 （2）找到评价回归方程有效性高低的统计指标来评价所建回归方程使用价值的高低。 （3）必要时必须检验各个自变量的统计显著性，以鉴别已选自变量中是否夹杂了与因 变量无关或可以忽略不计的变量，把它们从回归方程中剔除出去，以便简化方程形式，提高 使用效率。 （4）在实际计算分析过程中，建立一个回归方程后，为了追求它的高效和实用，往往 要在第一和第二两部分的计算中往返进行，直至真正建立起一个既高效又实用的“最佳”方 程。 3．利用所建回归方程进行预测和控制 根据已获得的研究结果对研究或实验的发展变化作出预测和控制，是研究回归现象、进 行回归分析的根本目的所在。在建立起回归方程之后，利用方程所揭示的变量间的关系，对 因变量进行估计或预测。估计或预测因变量的主值，估计或预测因变量的取值范围，或者利 用回归方程所揭示的变量间的发展变化和互相制约的关系，通过控制或调整自变量的值而达 到控制因变量变化趋势的目的。
（5）列出回归方程：y＝a＋bx。
（三）一元线性回归方程的有效性检验 1．建立假设：H0：所建回归方程无效；
H1：所建回归方程有效。 2．计算离差平方和
总离差平方和：
n
回归平方和：U =b2 (xi x )2 i 1
剩余平方和： Q lyy U
3．计算自由度
df总 n 1， dfU 1， dfQ n 2 。
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张敏强《教育与心理统计学》修订本笔记和课后习题（含考研真题）详解 第 7 章 回归分析
【本章重点】 ☆ 回归分析的基本原理 ☆ 一元线性回归方程的建立 ☆ 检验和评价所建回归方程的有效性 ☆ 用所建回归方程进行预测和控制
（1）由自变量数据列 x，求得 x 的均值 和离均差平方和 ；
（2）由因变量数据列 y，求得 y 的均值 和离均差平方和 ；
（3）列 x 和 y，求得 x 与 y 的协方差 ；
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（4）由
，求出 a 和 b；
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间的相关关系用精确的数学公式伴以其他手段加以进一步的定量刻画。在回归分析中，自变
量可以是精确变量，也可以是随机变量，但在计算分析的过程中，都是作为精确变量处理的。
（二）基本原理
1．回归分析的数学模型：
y=f（x1，x2，x3，…，xk）+ε