初中常用因式分解公式
2013.6.6
一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

二．因式分解方法：
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相
同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x2-2x
解：x2-2x =x(x -2)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b
解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式
最常用的公式：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
注意该方法的核心是分组后能提取公因式！
4、十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2 -19x-6
分析： 1 -3
7 2
交差相乘再相加2-21=-19
解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配凑法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。

例5、分解因式4323+-x x
解原式=444323++--x x x x
=)44()43(2++--x x x x
=)1(4)4)(1(++-+x x x x 到这儿我们就可以提公因式了 =)44)(1(2+-+x x x
=2)2)(1(-+x x
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x -x )
例7、分解因式x 2 +x -2
解：令f(x)= x 2 +x -2=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 -2,1
则x 2 +1x -2= (x+2)(x-1)
加粗部分是关键，务必多加注意！
三．基础训练；
对下列各因式就行分解
（1）4a2－b2＋6a－3b；（2）x3－2x2－3x；（3）4x（a－b）＋（b2－a2）；(4)x2-x-2;
(5) x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz; (6)x+5y-xy-5x;。