专题18 等比数列一、单选题1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31B ．15C ．8D ．72.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4B ．6C ．12D ．163．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512-B ．512C ．1024D ．1024-4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128B ．64C ．64或64-D ．128或128-5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9B ．3C ．-3D ．-96．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．4-7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的45.若这堆货物总价是425655n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12322,a a a S =+是1S 与3mS 的等比中项，则m 的值为（ ） A ．1 B ．97C ．67D ．12二、多选题9．（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．681a a > C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T10．（2019·临沭第一中学高二开学考试）已知数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ） A ．{}2naB ．{}2n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}1n n a a ++11．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路12．（2019·山东省高三月考）已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，满足()21234234a a a a a a a +++=++，且41a >，下列选项正确的是（ ）A ．13a a >B ．34a a >C ．12a a >D ．24a a <三、填空题13．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________. 14．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，121a a +=，342a a +=，则5678a a a a +++=________.15．（2020·湖南省高三三模（理））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则21nii a==∑__________.16．（2020·进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日． （结果保留一位小数，参考数据： lg20.30≈， lg30.48≈） 四、解答题17．（2020·江西省高二月考（理））已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1+1a ，31a +，71a +成等比数列。

(1)求{}n a 的通项公式。

(2)求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 。

18．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*273,49,a S n N ==∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n-+⋅=，求数列{}n b 的前n 项和T n.19．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()11n n aS a a =--，(a 为常数，且0a ≠，1a ≠).（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21nn nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值. 20．（2020·广东省高三一模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足n n a n S =-，设1n n b a =-． （1）求123,,a a a ；（2）判断数列{}n b 是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和S n ．21．（2019·福建省莆田一中高三月考（文））设数列{}n a 前n 项和为S ，且满足()*1111,3232n n a S a n N +==-∈． （1）证明{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．（2020·宁夏回族自治区银川九中高三二模（文））在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）.（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.专题18 等比数列一、单选题1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7【答案】B 【解析】由于数列是等比数列，故32112a q a q =，由于11a =，故解得2q，所以()4141151a q S q-==-.故选：B.2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16【答案】A 【解析】由()321043313111111582a a a a a q a q a q a =⋅⋅====,所以52a =,则2228524a a a ===.故选A.3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512- B ．512C ．1024D ．1024-【答案】A 【解析】1321,40a a S =+=.()211140a q a a q ∴++=.2440q q ∴++=.解得:2q =-.199101(2)512a a q ∴=⋅=⋅-=-.故选:A4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128-【答案】D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由21324a a a ==，解得22a =±，当22a =时，792128a q a ==，得2q ，则981282a a ==； 当22a =-时，792128a q a ==-，得2q =-，则98128-2a a ==- .综上8128a =或128-， 故选：D.5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9【答案】D 【解析】因为134,,a a a 成等比数列，所以()()211132a a d a d +=+，所以2140a d d +=，又因为3d =，所以112a =-，则219a a d =+=-， 故选：D.6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2 B ．0C ．2-D ．4-【答案】A 【解析】12342,20a a a a =++=2311120q q q a a a ∴++=,2320q q q ∴++=;0q ∴=或1q =-；等比数列公比不能为0，1q =-552[1(1)]21+1S --==故选：A7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的45.若这堆货物总价是425655n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】由题意，可知这堆货物的总价为n S ，则21444123...555n n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45n S =()2144442...15555n nn n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得：21144441...55555n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()414455545515nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，所以()425555nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当()442555256555nnn S n ⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，解得：8n =. 故选：B8．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12322,a a a S =+是1S 与3mS 的等比中项，则m 的值为（ ） A ．1 B ．97C ．67D ．12【答案】B 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a =+，得21112a a q a q =+，易知10a ≠，所以2210q q +-=解得1q =-或12q =，当1q =-时，20S =，这与2S 是1S 与3mS 的等比中项矛盾， 当12q =时，11213137,,24S a S a mS a m ===由2S 是1S 与3mS 的等比中项，得2213S S mS =⋅，即22119744a m a =⋅，所以97m =， 故选：B . 二、多选题9．（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．681a a > C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为6T【答案】AD 【解析】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾.④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.10．（2019·临沭第一中学高二开学考试）已知数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ） A ．{}2naB ．{}2n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}1n n a a ++【答案】BC 【解析】因为数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列,则1n na q a +=, 对于选项A,11222n n n na a a a ++-=,因为1n n a a +-不是常数,故A 错误；对于选项B,222112n n nn a a q aa ++⎛⎫== ⎪⎝⎭,因为2q 为常数,故B 正确； 对于选项C,2212111n n n n n n n na a a a q a a a a ++++++⋅=⋅=⋅,因为2q 为常数,故C 正确；对于选项D,若10n n a a ++=,即1q =-时,该数列不是等比数列,故D 错误. 故答案为:BC11．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路 【答案】ACD 【解析】设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD12．（2019·山东省高三月考）已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，满足()21234234a a a a a a a +++=++，且41a >，下列选项正确的是（ ） A ．13a a > B ．34a a >C ．12a a >D ．24a a <【答案】AD 【解析】1234,,,a a a a 成等比数列，设公比为q .()2244444123423444322,a a a a a a a a a a a a a a q q q q q ⎛⎫+++=++∴+++=++ ⎪⎝⎭， 2244322322111111111111,1,11a a q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫∴+++=++>∴+++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<. 令()3221f x x x x =+++，则()()()'2341311f x x x x x =++=++.由()'0fx >，得13x >-或1x <-；由()'0f x <，得113x -<<-，()f x ∴在(),1-∞-上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x ∴的极大值为()11f -=，极小值为1230327f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 又()210f -=-<，()f x ∴在区间()2,1--上有一个零点0x .即32210q q q +++<时，01q x <<-，21q ∴>.41a >，∴等比数列1234,,,a a a a 中，13,a a 均为负数，24,a a 均为正数.23122124,a q a a a q a a ∴=<=>.故选：AD . 三、填空题13．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________. 【答案】4,36 【解析】设这两个数为,a b ，因为两个数等差中项是20，等比中项是12，所以40414436a b a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或364a b =⎧⎨=⎩， 即这两个数为4,36， 答案为：4,36．14．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，121a a +=，342a a +=，则5678a a a a +++=________.【答案】12 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ,则()12121222342q a a a a a a a q a ++++===. 故()42567812342312a a a a q a a a a +++=+++=⨯=.故答案为：1215．（2020·湖南省高三三模（理））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则21nii a==∑__________.【答案】122n +- 【解析】因为22n n a a +=，44a =，所以22a =，故数列{}2n a 是以2为首项、2为公比的等比数列， 由等比数列前n 项和公式可得，()1212122212n nn ii a+=-==--∑.故答案为：122n +-16．（2020·进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日． （结果保留一位小数，参考数据： lg20.30≈， lg30.48≈） 【答案】2.6．【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{}n a ，其13a = ，公比为12，其前n 项和为n A ．莞（植物名）的长度组成等比数列{}n b ，其11b =，公比为2 ，其前n 项和为n B ．则131212,12112nn n nA B ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--，令n n A B = ， 化为： 6272n n +=， 解得26n= 或21n= （舍去）．即： lg6lg31 2.6lg2lg2n ==+≈ . 所需的时间约为2.6 日. 四、解答题17．（2020·江西省高二月考（理））已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1+1a ，31a +，71a +成等比数列。