最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号，若 所用的窗函数为矩形窗，即
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
d(n)
1 0
n 0,1, N 1 n为其他值
那么自，然x截N(短n)。=x (n)d (n),实现了对x (n)的 解：先研究d (n)的频谱特点：
D(e j )
N1
d(n )e jn
1
Cn 2
X (e j )e jnd
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
Wiener-khinchin （维纳-辛钦）定理： 若x(n)是功率信号，其自相关函数的定义为：
rx
(m)
1 2N
1
N n
x(n)x(n
N
m)
功率信号x(n)的功率谱 PX (ej)为：
Px (e j )
m
当N→∞时，D(ej) 趋于δ（ω），这时相当于对信
号没有截短。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
若xN(n)=x (n) d (n) ，那么 XN (ej) X(ej) D(ej) 卷积的结果是 D(ej)的主瓣对 X(ej)起到了“平滑” 的作用，降低了X(ej) 中谱峰的分辨能力。
N1
e jn
1 e jn
e (e jN / 2 jN / 2
e jN / 2 )
n0
n0
1 ej
e j/ 2 (e j/ 2 e j/ 2 )
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
即：
D(e j ) ej(N1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
记
Dg(e j ) sin( N / 2)
sin( / 2)
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
Dg(ej)可理解为 D(ej)的增益，可正可负，当 ω=0时，Dg(ej) N 当ωN/2=πk时，ω=2πk/N 时，Dg(ej) 0 Dg(ej)在ω=0两边第一个过零点间的 部分称为D(ej) 的主瓣，对矩形窗来说，该主瓣宽 度B=4π/N，主瓣以外部分（|ω|＞2π/N）称为 D(e j )的边瓣，显然，N增大时，主瓣宽度B减小，
1
E(e j ) d
2 n
2
2
信号在时域的总能量等于其频域的总能量，频域 的总能量等于 X(ej) 2 在一个周期内的积分。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
2.DTFT的反变换公式
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
傅立叶系数展开式为
X(e j ) Cnejn n
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
例：令
X(e
j
)
31
0
0.4 0.4
即 X(ej) 是频域的矩形函数，所以，对应的 x (n) 为 sinc 函数，现对x (n)用矩形窗d（n）， n=0，…30来截短，试分析截短后对x (n)频谱的 影响。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
解：记 xN(n)=x (n) d (n)
XN (ej) X(ej) D(ej)
从结果可以看出，XN (ej) 在X(ej)原来为零的位置
|ω|＞0．4π）处以不再为零，这是由于不再
零，这是由于 D(ej) 的边瓣所产生的，这种现象称 为频谱的泄露。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
边瓣越大，且衰减得越慢，泄露就越严重，在频 谱分析中，泄露往往会模糊原来的形状，窗函数 过大的边瓣有可能产生虚假的峰值，这些都是不 希望的。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
2.2.1 DTFT定义 离散时间序列的傅立叶变换
X(e j ) x(n)ejn n0
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
X(ej) 是ω的连续函数，且是周期的，周期为2π。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
四种形式的傅立叶变换 1）连续、非周期x（t）
Px
1 2
Px
(e
j
)
d
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
小结：不管x(n)是实信号还是复信号，其功率 谱 始终是ω的实函数，即功率谱失去了相位信 息。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
2.2.2 信号截短对DTFT的影响 例：将一个n=-∞～+∞的无限长信号x (n) 截短，
X( j) x(t)ejtdt
2）连续、周期x（t）
连续、非周期
X(k0
)
1 T
T / 2 x(t)ejk0tdt
T / 2
离散、非周期
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
3）离散、非周期x（n）
X(e j ) x(n)ejn n0
4）离散、周期
连续、周期
X(k) N1 x个影响是频谱泄露 （leakage）
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
例如：假设x (n)为两个正弦信号之和，那么起频 谱在ω1，ω2处各有一个谱线，若 Dg(ej) 的主瓣宽 度4π/N大于|ω2-ω1|，那么在XN (ej) 中将分辨 不出这两根谱线，这是由于窗函数d（n）过短， 而使其频谱的主瓣过宽，边瓣过大所引起的，若 增加数据长度N，使4π/N＜|ω2 -ω1 |，那么， 这两个谱峰可分辨出。
[ lim N
1N x(n)x(n
2N 1nN
m)]e jm
lim
N
X2N (e j ) 2 2N 1
2.2 离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
此式称为确定性信号的维纳-辛钦定理，它说明功
率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅立
叶变换
x(n)
x2N (n)
0
信号的总功率
n N n N
时域卷积定理：
y(n)=x(n)*h(n) 频域卷积定理：
Y(e j ) X(e j )H(e j )
若 y(n)= x(n) h(n) ，则 Y(ej) X(ej) H(ej)
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
Parseval（巴塞伐）定理：
x 2
2
x(n)
1
2
X(e j ) d
离散、周期
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
总结：若x在时域是周期的，那么在频域X一定 是离散的，
若x在时域是非周期的，那么X一定是连续的。 第四种变换在时域和频域都是离散的，且都是
周期的，周期都为N点，在计算机上能方便地利 用DFT来实现信号的频谱分析。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）