数列的通项公式与求和
112342421
{},1(1,2,3,)3
(1),,{}.(2)n n n n n n
a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求
1112
{},1(1,2,).:(1){
};(2)4n n n n n
n n n a n S a a S n n
S n
S a +++==
==L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列
*121
{}(1)()3
(1),;
(2):{}.
n n n
n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列
11211
{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求
练习1 练习2 练习3 练习4
112{},,,.31n n n n n a a a a a n +=
=+ 已知数列满足求
1
11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求
1
11{}:1,{}.
31n n n
n n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式
练习8 等比数列
{}n a 的前n 项和S
ｎ
＝2ｎ
－１，则
2
232221n
a a a a ++++Λ
练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n
-，…；
练习5 练习6
练习7
练习10 求和：
111
1447(32)(31)
n n
+++
⨯⨯-⨯+
L
练习11 求和：
111
1
12123123n ++++= +++++++
L
L
练习12 设{}
n
a
是等差数列，
{}
n
b
是各项都为正数的等比数列，且11
1
a b
==
，35
21
a b
+=
，
5313
a b
+=
（Ⅰ）求{}
n
a
，
{}
n
b
的通项公式；（Ⅱ）求数列
n
n
a
b
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭的前n项和n S．
答案
练习1答案：
练习2 证明： (1)
注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)
由(1)知，
{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n 得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于N 且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于N) 由(*)式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n 234
2
1416,,3927
11
14()233n n a a a n a n -====⎧⎪
=⎨≥⎪⎩ 234[()1]73
n
-
练习3 答案： 1)
a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1 相减：
3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2
所以{an}为等比数列！ 练习4 累加法，答案：
练习5 累乘法，答案：
练习6 待定系数法，答案：
练习7 倒数法，答案：
练习8 公式法，答案：41
3n -
练习9 答案：555555555n n S =++++678
L L 个
5(999999999)9n =++++678L L 个 235
[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++-L
235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--L ．
n a n 1
23-
=n a n 32
=
113()2()
23
n n
n a =-1
32n a n =
-
练习11，,列项相消法
1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n -1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1)
练习12 （错位相减法）
答案：解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4
2
12211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，
解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++L ，①32
52321223222n n n n n S ----=+++++L ，②
②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-L ，221
11121
2212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭L
11
1
1212221212n n n ---
-=+⨯--
12362n n -+=-．。