正态分布的概率积分——误差函数
2、的含义
标准差σ是表征随机误差很重要的一个特征量，可
用于描述测量列中各个测得值的误差。因标准差σ甚为
重要，需进一步理解它的含义和对测量的作用。
例如：对某一量测试100次，得到测量值
x1,x2,,x100
标准差估计值 s
s 可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数
新的误差，因此一般情况下取n=10左
右较为适宜。
例： 用仪器测量某电压10次，得到数据如下(单位为v)： 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02， 75.08 。求：1）算术平均值及其标准差。2）电压的测量结果。
解：
x75.045v 75.05v
P=0.95( 2)，一般精密测量，应用广泛； P=0.9973( 3)，用于较重要的科研工作和精密仪器； P=0.9999( 4)，用于个别对可靠性要求特别高的科研
和精密测量工作；
二、随机变量的数字特征
描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）
数学期望：位置特征
方差：分散性指标
Dx 标准差
量块或其它标准件尺寸的偏差，
均为恒定系统误差。
n
2、变值系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和
方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而 变化，可分为三种：
① 线性系差（累进系差）：在 整个测量过程中，随某因素而线性递 增或递减的系统误差。如温度线性变 化引起的误差。
②周期系差：在整个测量过程中， 随某因素作周期变化的系统误差。如齿 轮转动引起的正弦误差。
-
=E(X 2 ) (EX )2
数字特征如何估计？
数学期望的估计（算术平均值）——
要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值 的数学期望正好等于未知量（真值）
解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题
标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）——
例：两组测量值
哪一组测量值更好？ 衡量的指标：标准差
一、随机误差的基本特点及分布
对称性
正负误差概率基本相等
单峰性
小误差出现概率大
随机误差
x xx0
抵偿性
正负误差可相互抵消
有界性
误差不会超过一定界线
多次测量，随机误差呈现出的规律
古典误差理论认为：随机误差服从正态分布
理论依据：中心极限定理 只要构成随机变量总和的各独立随机变量的
数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都 足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态 分布
离散：EX xiPi i
连续：EX
+
x(x)dx
-
随机变量关于其数学期望的偏离 程度比其他任何值的偏离程度都 小。如果x是测量值，那么Ex就 是该被测量值最可信赖的值（或 称概然值）
DX பைடு நூலகம்(X EX )2
离散：DX ( X EX )2 Pi i
连续：DX
+
(X
EX
)2 ( x)dx
残差分别求和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，
该差值应近似为0；否则，可能比较大。不适于检验周期 性系差。
（2）阿贝-赫梅特准则（周期系差）
可以证明： n 如果测量服从正态分布，则： ii1 n 2 i1
周期系差存在判据为：
n
ii1 n2
i1
1、标准差的估计 ——贝赛尔公式
两边同除以n：
即
贝赛尔公式
贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大
ˆ 就是 的无偏估计
2、标准偏差的其他估算方法
1）别捷尔斯法（Peters） E( )
x
i
2） 极差法
ω n＝xmax - xmin
根据极差得分布函数，可以求出数学期望：
dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，ωn大的概率
精密仪器设计
Design of Precision Instrument
仪器精度理论
——误差分析与处理
本章内容
1 仪器精度概述 2 误差基本理论 3 误差合成与分配（仪器精度分析与设计）
第一节 仪器精度概述
精度是精密仪器的一项重要指标，是由于仪器原理、 结构和制造装调等方面的不完善导致仪器测量值与被测量 真实值有一定偏差，这种偏差大小反应了仪器本身性能的 好坏，可用仪器本身缺陷所造成的误差大小来评定。
n
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 Kn
n
1 Kn
0.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30
0.000225
6
75.09
+0.045
0.002025
7
75.06
+0.015
0.000225
8
75.02
-0.025
0.000625
9
75.05
+0.005
0.000025
10
75.08
+0.035
0.001225
10
10
x75.04m5 m
vi 0
vi2 0.0082m5m2
i1
i1
nlm alx m in 7.0 5m 9 m 7.0 5m 0 m 0 .0m 9 m
制造方面 仪器零部件在制造过程中的公差
运行方面
仪器使用过程中的退化、磨损、应力变形等导致的 误差
误差的分类：
随机误差：偶然误差，不确定因素导致的误差，数值和方向 没有一定规律，但其总体服从统计规律。
系统误差：大小和方向在测量过程中恒定不变，或按照一定 规律变化的误差，可进行调节和修正。
粗大误差：由于疏忽或错误出现的误差，应予以剔除。
1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44
vi
0.04m 5 m
max
1 K 10
0.57
vK i1m0a x0.5 70.04m5m 0.02m 56m
3、四种计算方法的优缺点
① 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难 于满足快速自动化测量的需要；
随机变量 x
的取值
1 x1n(x11
x12
x1n)
1 x2n(x21
x22
x2n)
（多组测量列）
xmn 1(xm 1xm2 xmn)
xj
1 n(xj1xj2
xjn)
1
2 x
D (x)D [n(X1X2 Xn)]
n 1 2[D (X 1)D (X2) D (Xn)]
n12[222]
2 n
算数平均值的标准差：
x
n
即用 x 作为测量结果比用单次测量结果精度提高了 n 倍！
（多次测量的）算数平均值的标准差： x
n
增加测量次数，可以提高测量精
度，但测量精度是与n的平方根成反
比，因此要显著提高测量精度，必须
付出较大的劳动。
由图,σ 一定时，当n>10以后， x 的 减小很慢。此外，由于增加测量次数
难以保证测量条件的恒定，从而引入
差、测量过程中的温度、湿度按一
系
因素
定规律变化的误差等。
统
误
③ 测量方法的
采用近似的测量方法或计算公式引
差
因素
起的误差等。
④ 测量人员的 因素
测量人员固有的测量习性引起的误 差等。
一、系统误差的分类和特征
1、定值系统误差
在同一条件下，多次测量
同一测量值时，误差的绝对值
和正负符号保持不变。
如读数装置的调零误差、
（计数器计数误差）
反正弦分布
（电子测量振幅、微波测量由失 配引起的不确定度）
偏心分布(瑞利分布,rayleigh)
（雷达杂波包络分布）
均匀分布
（仪器制造中的公差）
2.2 系统误差
① 测量装置方 面的因素
仪器偏差、仪器设计原理缺陷、仪 器制造中的公差和安装的不正确等。
测量时的实际温度对标准温度的偏
② 环境方面的
③复杂系差：在整个测量过程中， 随某因素变化，误差按确定的更为复杂 的规律变化，称其为复杂规律变化的系 统误差。
二、系统误差的发现
1、定值系差的发现
（1）对比检定法（校准法）
改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求 出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。
如：改变测量次数 （2）均值与标准差比较法
正态分布及特性——
测量数据的概率密度函数：
真值
y(x)12exp[(x22 )2]
随机误差的概率密度函数：
误差
yf()12ex p 2[22]
说明了什么？
P(x)?0.6827
我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出
更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称正态分布积分）
P (t ti)2 1
三、测量结果的精度指标
1、误差 出现在 (,) 内的概率（置信度表示）
P( )
1
2
e
2d
2
令 t;ddt
1
2
e t2
2
dt
误差函数
( 令 ti)2 20 tie t2 2 d t et r i) f2 (( ti)
P(t)ert)f(2(t)
拉普拉斯函 数