例题讲解
例 1.已知函数 f ( x) x 2 2 ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域： 0 ，
，
2 2( x 1)(x 1) f ( x) 2 x x x ， ， x 1 令 f ( x) 0
x
0
1

f ，( x) f ( x)
解： f ，( x) x 2 (2 a) x (1 a) ( x 1)x (1 a) ， ， x 1 ，x 1 a 令 f ( x) 0
求函数的单调区间.
x
-
1
1 a
-
1 a
1

f ，( x) f ( x)
综上：
+
—
+
+
—
+
(1)a 0 ， y f ( x) 在 - ,1, 1 a, ；1,1 a 。 ( 2) a 0 ， y f ( x) 在 - ,1 a， 1 ， ；1 a,1 。 (3)a 0 ， y f ( x) 在 R ；
—
+
y f ( x) 在 0,1 ； 1 ， 。极小值点： x 1
例题讲解
例 2.已知函数 f ( x) x a ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域： 0 ，
，
x
a xa f ( x) 1 x x a 0
作业布置
请同学们认真完成导学案的自主练习
min
f (1)
课堂总结
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的 习惯，使问题直观且有条理。 2.讨论含参函数单调性时，先要明确函数的定义 域，然后对函数求导。讨论函数的单调性其实就 ， f 是讨论 ( x) 在定义域内各区间的正负情况，从 而影响函数的单调性。比如，含参的一元二次函 数讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时，依据根的大小进行分类讨论；在不能 通过因式分解求出根的情况时，还要根据判别式 进行分类讨论．
高二数学组：吴娟
知识回顾
求函数 f ( x ) 单调区间与极值的步骤如下： (1)确定函数定义域； ， ， f ( x ) f (2)求导数 ；解方程 ( x) 0 ； （3）列表； （4）结论应用； ， f 单调区间:使不等式 ( x) 0 成立的区间就是递 增区间, 使 f ，( x) 0 成立的区间就是递减区间。 极值:如果在 x0 附近的左侧 f ，( x) 0 ， ， f ( x) 0 ，那么 f ( x0 ) 是 极大值； 右侧 ， f x 如果在 0 附近的左侧 ( x) 0 ， ， f 右侧 ( x) 0 ，那么f ( x0 ) 是极小值．
综上：
解： f ，( x) e x 2a
ln(2a )
f ( x)
—
1 e 1 e 0 a a a 2 2 2 2 f ( x ) min f (0) f ( x) f ( x) min f (ln(2a ))

1
a
1 a e a e 3 f (a) ln a 1 a 3 2 f (e) 1 e 2
a e
a
例题讲解
变式 2.求函数 f ( x) e x 2ax 2, 在区间 0,1 上的最小值
(1)a 0 ； y f ( x) 在 0,1 ；f ( x) min f (0) 3 ， ( 2) a 0 ；令 f ( x) 0 ， x ln(2a) x ln(2a ) 0 1 0 ln(2a ) 1 0 1 f ，( x) — + +
0
a

f ( x) f ( x)
综上：
，
+
—
+
(1)a 0 ， y f ( x) 在 0 ， ； 无极值点。 ( 2) a 0 ， y f ( x) 在 0, a ；在 a, 。 xa 极小值点：
例题讲解
1 3 1 2 变式 1.已知函数 f ( x) x (2 a ) x (1 a ) x, (a R) 3 2
例题讲解
a 例 2.已知函数 f ( x) ln x , (a R) x 3
1 a xa 解： f ( x) 2 2 x x x
，
若函数 f ( x) 在 1 ，e上的最小值是 ，求 a 的值.
2
x
a
1
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
a
e
1
e
a
f ，( x) f ( x)
综上： a
+
—
+
—
3 f (1) a 2