复习第2讲,消费者最优化
2.1预算
2.2偏好
2.3效用
2.4选择
消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算:买得到的组合——预算可行集——稀缺性
预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好:如何对可能消费的组合排序呢——偏好
无差异曲线,并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序
2.3效用:更简便的排序是用效用函数
效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率,边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格
2.4选择:通过排序我们可以找到最佳的消费组合
最优化模型的解满足相切条件,就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。
偏好是严格凸性的,也就是效用函数必须是严格拟凹的,此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5
买得到的组合:稀缺 排序:偏好
无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率
边际效用
预算集 预算线
预算约束Ch2 相切:选择ch5
预算线斜率:商品1机会成本(边际成本)
无差异曲线的斜率:商品1的主观价值(边际支付意愿。
保留价格)
第3讲:效用最大化与支出最小化(补充)
3.1效用最大化
3.2支出最小化
3.3效用最大化与支出最小化:对偶关系
3.1效用最大化
Max U=U(x1, x2)
S.t. P1 x1 + P2 x2 = M
L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)
L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)
L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)
L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)
x1*=x1(p1,p2,M),x2*=x2(p1,p2,M);
这是马歇尔需求函数
例子1:
U(x1, x2)= x11/2 x21/2
x1*=(1/2) (m/p1),x2*=(1/2) (m/p2)
如果价格和收入同比例变化,需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数
x1(tp1,tp2,tM)=t0x1(p1,p2,M)=x1(p1,p2,M)
例子2:
把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1),x2*=(1/2) (m/p2)
代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2
得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
V= U*=V(p1,p2,m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
我们把V=V(p1,p2,m)称为间接效用函数,把U=U(x1, x2)称为直接效用函数。
间接效用函数相当于说,只要知道收入和价格,就知道相应的最大效用。
那么如果价格或收入发生变化,很容易得知导致效用的变化。
例子3:
U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
m=8,p1=1,p2=4,V=?,x1=?
m=8,p1+t=2,p2=4,V=?,x1=?税收tx1=?
m=8- tx1,p1 =1,p2=4,V=?x1=?
画图比较征收等额的商品税与所得税的影响p69
从量税:价格提高,(p1 +t)x1+p2 x2=m,政府税收t x1*
所得税:收入降低,p1x1+p2x2=m - t x1*,政府税收t x1*
对于单个消费者来说,征收相同税额,所得税优于从量税。
但是如果单个消费者不消费征税商品,那么他偏好从量税而不是所得
税。
例子4:
U(x1, x2)= x11/2 x21/2——V= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 m
-(ðV/ðp1)/(ðV/ðm)=?
补充:包络定理——值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分。
V= U*=U[ x1*(p1,p2,M),x2*(p1,p2,M)]
=V (p1, p2, m)……值函数;
Max L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)……约束条件最大化的原函数;
ðV/ðp1= ðL/ðp1=-ζx1;
ðV/ðp1是说,如果价格变化1单位,效用会变化多少?如果在某一价格下,最优的商品购买量是x1,那么如果此时价格下降1单位,相当于每单位商品可以少花1单位,收入总共多出了x1单位;每单位货币的效用为ζ。
于是,很直观的是,价格下降1单位,收入增加x1单位,效用增加了-ζx1单位。
如果价格上涨则相反。
ðV/ðp1= ðL/ðp2=-ζx2
ðV/ðm= ðL/ðm=ζ
-(ðV/ðp1)/(ðV/ðm)=x1*=(1/2) (m/p1),
-(ðV/ðp2)/(ðV/ðm)=x2*=(1/2) (m/p2)
我们把-(ðV/ðp i)/(ðV/ðm)=x i*(p1,p2,M)称为罗伊恒等式。
利用该等式,知道间接效用函数,可直接得到马歇尔需求函数。
3.2支出最小化
Min e= P1 x1 + P2 x2
S.t. U(x1, x2)=U
L= P1 x1 + P2 x2–θ(U(x1, x2)-U)
L’x1 = P1–θðU/ðx1 =0 (1)
L’x2 = P2–θðU/ðx2 =0 (2)
L’θ= U(x1, x2)-U =0 (3)
x1*=x1h(p1,p2,U),x2*=x2h(p1,p2,U);叫希克斯需求函数,区别于马歇尔需求函数
满足MU1/ P1=MU2/ P2=1/θ或MU1/ MU2 = P1 / P2
画图,区别效用最大化模型与支出最小化模型
把x1h(p1,p2,U),x2h(p1,p2,U)代入最小支出:
e*= P1 x1h(p1,p2,U)+ P2x2h(p1,p2,U)
e*= e(p1,p2,U)被称为支出函数,它告诉在既定价格条件下为了实现某一效用所需要的最小支出。
例子5:
求U(x1, x2)= x11/2 x21/2的支出函数
根据支出最小化模型得到:
x1h= p1-1/2p21/2 U,x2h= p11/2p2-1/2U,
e= p1 p1-1/2p21/2 U + p2 p11/2p2-1/2U=2 p11/2p21/2U
如果U=2, p1=1,p2=4, e=?
征税U=2, p1+t=2,p2=4, e=?
必须至少补贴多少钱,消费者才不会反对征税?
画图表示
例子6:
ð e(p1,p2,U)/ðp1=?
ð e(p1,p2,U)/ðU=?
根据包络定理
ð e(p1,p2,U)/ðp1= ð L/ðp1= x1*=x1h(p1,p2,U),
ð e(p1,p2,U)/ðp2= ð L/ðp2= x1*=x2h(p1,p2,U),
这叫谢泼德引理。
ð e(p1,p2,U)/ðp1=x1h
ðe/ðp1是说,如果价格变化1单位,最小支出会变化多少?很直观的是,如果在某一价格下,达到某一效用支出最小的商品购买量是x1h,那么如果此时价格下降1单位,相当于每单位商品少花1单位货币,共节省x1h单位支出就可以达到原来的U。
如果价格上涨则相反。
ð e(p1,p2,U)/ðU= ð L/ðU= θ=1/ζ
3.3效用最大化与支出最小化:比较
例子:V=V(p 1, p 2, m)与e= e (p 1,p 2,U )互为反函数 V=V (p 1, p 2, m )= (1/2) p 1-1/2 p 2-1/2 m e= e (p 1,p 2,U )=2 p 11/2p 21/2U 画图:
四个恒等式:
e= e (p 1,p 2,V (p 1,p 2,m ))=m V (p 1,p 2,e (p 1,p 2,U ))=U
x i (p 1,p 2,M )=x i h (p 1,p 2,V (p 1, p 2, m )) x i h (p 1,p 2,U )=x i (p 1,p 2,e (p 1,p 2,U ))
希克斯需求不可观察,但是马歇尔需求是可以观察的
画图:
马歇尔需求函数,希克斯需求函数,边际替代率
Max U =U(x 1, x 2) S.t. P 1 x 1 + P 2 x 2 = M Min e= P 1 x 1 + P 2 x 2 S.t. U(x 1, x 2)=U x 1=x 1*(p 1,p 2,M ) x 2=x 2*(p 1,p 2,M ) V=V(p 1, p 2,
m)
-(ðV/ðp i )/(ðV/ðm ) =x i *(p 1,p 2,M )
x 1*=x 1h (p 1,p 2,U ) x 2*=x 2h (p 1,p 2,U )
e= e (p 1,p 2,U )
ð e (p 1,p 2,U )/ðp i =x i h (p 1,p 2,U ),
间接效用与
最小支出互为反函数。