对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相 等求解．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析] ＝0. ①
(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即a2－a－b
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0. 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， a a ∴l1的斜率也存在，b＝1－a，b＝ ， 1－a 故l1与l2的方程分别为
－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程． [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中
线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方 程．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析] 为中点，
设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[例4]
已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
7 4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是10 5. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点； 1 ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的2； ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 2 5 .若能， 求出P点坐标；若不能，说明理由．
[剖析]
直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的，
当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方 程．在错解中，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，已经默认了 直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本 题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉 了一个解．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[例1]
已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0)
为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． [分析] 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根
据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情 形．
第三章
章末归纳总结
②
4a－1 a l1：(a－1)x＋y＋ a ＝0，l2：(a－1)x＋y＋ ＝0. 1－a
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
∵坐标原点到l1，l2的距离相等， a－1 a 2 ∴4| a |＝| |，a＝2或a＝3. 1－a
a＝2， 因此 b＝－2，
2 a＝ ， 或 3 b＝2.
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析]
1 (1)l2即2x－y－ ＝0， 2
1 |a－－2| 7 5 ∴l1与l2的距离d＝ 2 2＝ 10 ， 2 ＋－1 1 |a＋ | 2 7 5 1 7 ∴ ＝ 10 ，∴|a＋2|＝2， 5 ∵a>0，∴a＝3.
第三章
成才之路· 数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
第三章
直线与方程
第三章 直线与方程
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
第三章
章末归纳总结
第三章 直线与方程
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
知识结构
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[解析]
如图所示，直线PA的斜率
2－－3 kPA＝ ＝5， －1－－2 0－2 1 直线PB的斜率kPB＝ ＝－2. 3－－1
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它 的斜率变化范围是[5，＋∞)， 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变 1 化范围是(－∞，－2]． 1 ∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上， 1 |C－3| 1 |C＋2| 13 11 且 ＝ 2· ，即C＝ 2 或C＝ 6 ， 5 5 13 11 ∴2x0－y0＋ 2 ＝0，或2x0－y0＋ 6 ＝0； 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
|2x0－y0＋3| 2 |x0＋y0－1| 有 ＝ · ， 5 5 2 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0； 由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能． 13 联立方程2x0－y0＋ 2 ＝0和x0－2y0＋4＝0， x0＝－3 解得 ，应舍去． 1 y0＝2
∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB,1)． ∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)， xB＋1 ∴点D的坐标为( ，2)． 2 ∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， xB＋1 ∴ 2 －2×2＋1＝0，∴xB＝5.
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式． 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的 形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的 对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可 转化成点到直线的距离求解．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[例3]
已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y
＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相 等． [分析] 对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；
∴点B的坐标为(5,1)． ∵点C在直线x－2y＋1＝0上， ∴设点C的坐标为(2t－1，t)． t＋3 ∴AC的中点E的坐标为(t， )． 2 ∵点E在中线BE：y＝1上， t＋3 ∴ 2 ＝1，∴t＝－1. ∴点C的坐标为(－3，－1)， ∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0； BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜 角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范 围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
专题二 直线方程的五种形式的应用问题 [例2] 已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x
2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
专题突破
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
专题一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念， 它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度． (1)倾斜角的范围是[0° ，180° )． (2)倾斜角与斜率的对应关系 ①α≠90° 时，k＝tanα； ②α＝90° 时，斜率不存在． (3)倾斜角与斜率的单调性问题
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
[例5]
已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y
＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段的长为5，求直线l的方 程． [错解] 设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，解方程组
3k－2 x＝ ， y＝kx－3＋1， k＋1 得 x＋y＋1＝0 4k－1 y＝－ k＋1 .
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
由题意，得|AB|＝5， 3k－2 3k－7 2 4k－1 9k－1 2 ∴( － ) ＋(－ ＋ ) ＝52，解得k＝0. k＋1 k＋1 k＋1 k＋1 ∴所求直线l的方程为y＝1.
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
专题三
两条直线的位置关系
(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2⇔k1k2＝－1； l1与l2相交⇔k1≠k2.
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
3k－2 4k－1 ∴直线l与l1交于A( ，－ )． k＋1 k＋1 3k－7 x＝ ， y＝kx－3＋1， k＋1 解方程组 得 x＋y＋6＝0 9k－1 y＝－ k＋1 . 3k－7 9k－1 ∴直线l与l2交于B( ，－ )． k＋1 k＋1
直线与方程
倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角 范围：[0°，180° 定义：倾斜角αα≠90°的正切值叫做这条直线的斜率，即k＝tanα 斜率斜率公式：过两点P x ，y ，P x ，y x ≠x 的直线的斜率公式：k＝y －y x －x 两条直线平行的判定：l ∥l ⇔k ＝k 的斜率均不存在 或l ，l 两条直线垂直的判定：l ⊥l ⇔k k ＝－1 或l 斜率不存在，l 的斜率为0