三、数学公式的编辑与排版
5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ）
一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ）
设在)(x f y =区间[]b a ，上非负、连续，由x=a ， x=b ， y=0以及曲线)(x f y =所围成的图形称为曲线梯形，其中曲线弧称为曲边。

黎曼和的定义(Definition of Riemann Sum)
设)(x f 是定义在闭区间[]b a ，上的函数，∆是[]b a ，的任意一个分割，
a=x 0<x 1< x n-1<x n =b ，
其中x i 是第i 个小区间的长度，c
i 是第i 个小区间的任意一点，那么和 ∑=-≤≤∆n i i i i i
i x c x x c f 1
1,)( 称为黎曼和。

二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ）
定义 定积分（Definite Integral ）= 设函数)(x f 在区间[]b a ，上有界，在[]b a ，中任意插入若干个分点
a=x 0<x 1< x n-1<x n =b ，把区间[]b a ，分成n 个小区间：
[x 0 ,x 1],[x 1,x 2],…[x n-1,x n ],
各个小区间的长度依次为1122011--∆-=∆-=∆n n x x x x x x x x ，，
， 。

在每个小区间
i i x ，1x -上任取一点，作函数)(i f ξ与小区间长度i x ∆ 的乘积i i x f ∆)(ξ (i=1，2，…n), 并作出和
∑=∆=n
i i f S 1i x ) (ξ
记},{max 21n x x x P ∆∆∆=，， ，如果不论对[]b a ，怎样分法，也不论在小区间i i x ，1x -上点 怎样取法，只要当0→P 时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ，上的定积分（简称积分），
记作⎰b
a dx x f )(，即.n
10)()(lim i i i P b a x f I dx x f ∆==∑⎰=→ξ 其中f (x)叫做被积函数，f (x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[]b a ，叫做积分区间。

Let )(x f be a function that is defined on the closed interval []b a ，.Consider a partition p of the interval []b a ， into n subinterval (not necessarily of equal length) by means of points a=x 0<x 1< x n-1<x n =b and let
1x --=∆i i i x x .On each subinterval i i x ，1x -，pich an arbitrary point i ξ (which may be an end point); we call it a sample point for the ith subinterval .We call the sum ∑=∆=n i i f S 1i x ) (ξ a Riemann sum for )(x f corresponding to the partition p.。