解析：解法一 如图所示，
栏 目 链 接
π ∵∠AOB＝ 3 ，又 OA＝OB＝2， ∴△ABO 为等边三角形．∴AB 的长度为 2.
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解法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标为
( 3，－1)．
∴A、B 两点间的距离
d＝ ( 3－ 3)2＋[1－（－1）]2＝2.
1．2 极 坐 标 系
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1．了解极坐标的基本概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置 的区别． 3．能进行极坐标与平面直角坐标的互化．
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题型一 坐标的概念 例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π， 且各线之间间距相等)．
栏 目 链 接
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分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ表示 OM 的 长度，θ表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M
的极坐标为(ρ，θ)．
解析：A(5，0)，B2，π6 ，C4，π2 ，D5，3π4 ，E(2，π)，
栏 目 链
接
F5，4π3 ，G3.5，5π3 .
θ， θ得
x＝8cos23π＝－4， y＝8sin23π＝4 3.
即点 M 的直角坐标为(－4，4 3)．
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ρ2＝x2＋y2，
(2)由坐标变换公式 tan
θ＝xy（x≠0），
得 ρ＝ （－ 3）2＋（－1）2＝2 2，
tan
θ＝－ 62＝－3
3 .
栏
∵点 M 在第四象限，ρ＞0，
目 链
θ， ρ＝ x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝xy（x≠0）.
目 链 接
解析：(1)∵x＝1，y＝－ 3，∴ρ＝2，tan θ＝－ 3.
又∵点 P 在第四象限，∴θ＝53π.
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故点 P(1，－ 3)的极坐标为2，5π3 . (2)∵ρ＝3，θ＝－π4 ，
∴x＝ρcos θ＝322，y＝ρsin θ＝－322，
点评：(1)写极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能把 顺序写错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外， 点的极坐标唯一确定．
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►变式训练
1．设点 A2，π3 ，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别
求出点 A 关于极轴、直线 l、极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－
►变式训练
2．(1)把点 M 的极坐标2，3π4 化成直角坐标是________．
栏
(2)把点 P 的直角坐标(0，－2)化成极坐标是________．
目 链
接
．(1)(－ 2， 2)
(2)2，3π2
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例 3 在极坐标系中，已知 A2，π6 ，B2，－π6 ，求 A，B 两 点间的距离．
∴最小正角 θ＝116π.
接
因此，点 M 的极坐标是2
2，116π.
答案：(1)(－4，4 3)
(2)2
2，116π
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点评：直角坐标化极坐标时，先求出tan θ的值，再
由直角坐标确定θ所在的象限，然后求出符合条件的
栏 目
极角，一般只要取θ∈[0，2π)就可以了
链 接
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(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角．
链 接
解析：如下图所示：
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πππ ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝ 2 － 6 ＝ 3 ，
∴△AOB 为正三角形．
(1)A，B 两点间的距离为 3.
栏 目
链
(2)△AOB 的面积 S＝12×3×3sin 60°＝943.
接
(3)直线 AB 与极轴正方向所成的角为π－π6 ＝56π.
栏
π＜θ≤π)．
目 链
接
解析：如下图所示：
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关于极轴的对称点为
π
B2，－
3
.
栏
关于直线 l 的对称点为 C2，23π.
目 链 接
关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
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点评：点与点的位置关系中，(ρ，θ)关于极点的 对称点为(ρ，θ＋π)，关于直线α＝的对称点为(ρ， π－θ)，关于极轴的对称点为(ρ，－θ)．
栏 目
链
∴点
P3，－π4 的直角坐标为3
2
2，－3 2
2.
接
易错点：直角坐标与极坐标的互化.
【易错点辨析】由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象
限，才能确定 θ 的大小．
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析疑难
提
能
力栏 目 链
接
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例(1)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标是什么？
(2)点 P 的极坐标为3，－π4 ，则点 P 的直角坐标是什么？
分析：如果某个极坐标与某个直角坐标表示的同一个点的坐标，
栏
那么它们之间可以互化，则xy＝＝ρρscions
栏 目 链
接
答案：2
点评：在极坐标系中我们没有定义两点间的距离，我们只要画出
图形便可以得到结果或把两点极坐标转化为直角坐标，用直角坐标的
两点间的距离公式求解．
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►变式训练
3．已知两点的极坐标 A3，π2 ，B3，π6 ，求： (1)A、B 两点间的距离；
(2)△AOB 的面积；
栏
目
栏 目 链 接
2020/5/30ຫໍສະໝຸດ 题型二 极坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)把点 M 的极坐标8，23π化为直角坐标形式是________；
(2)把点 M 的直角坐标( 6，－ 2)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2
栏
π)是________．
目 链
接
解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos y＝ρsin