实用标准 文档 指数函数·例题解析

第一课时

【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：

(1)y3(2)y(3)y12x＝＝＝213321xx 解 (1)定义域为{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}．

(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为{|y|y≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， ∴值域是≤＜．0y3 1.指数函数Y=ax （a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0)

3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 实用标准 文档 【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如

图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 实用标准

文档 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．2481632

35894512()

(3)4.54.1________3.73.6 解(1)y221()x∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859 实用标准

文档 解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．451245123232()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 例题4（中档题） 实用标准

文档 【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，aaaaannnnnnnnnnnn11111111(a0a1n1)

0a1n10()

() ∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aaannaaannnnnnnnnnnn1111111111()()()1a1n10

1

【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法 (1)y(2)y22x＝＝－，()121x

(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x| 解 (1)y(264)(0)(11)y1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()

121

212

1xx

解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的． 实用标准 文档 解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)． 解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x

的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7) 实用标准

文档 例6（中档题） ： 用函数单调性定义证明：当a

＞1时，y = ax是增函数. 【解析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2 = x1 + h (h＞0，h∈R)，很独特的方式 则有)1(

11112hxxhxxxaaaaaa，

∵a＞1，h＞0，∴1,0

1hxaa，

∴0

12xxaa，即

故y = ax (a＞1)为R上的增函数， 同理可证0＜a＜1时，y = ax

21xx

aa是R上的减函数.

例题7 中档题）

指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数 实用标准

文档 【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y ux5x6yuux5xx25x622()()

3

434u

＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6xxyx25x6(][)()(][)

525

2345252

又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋ux5x6yuy2x25x6()()[)()(]xu



52141

434143401083

24

变式1 求函数y=（21）xx22的单调区间，并证明之.

解法一（在解答题）：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，

则12yy=12122222)21()21(xxxx=（21）（x2－x1）（x2+x1－2） 【（21）为底数，红色部分为指数】 ， ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. 当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则12

y

y

＞1. ∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增. 实用标准 文档 当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即

12y

y＜1.

（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性） ∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减. 综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减. 合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.

解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）： 设：xxu22

则：uy21 对任意的211xx

，有21uu，

又∵uy21是减函数

∴21yy

∴xxy2221在),1[是减函数

对任意的121xx，有

21

uu 实用标准 文档 又∵uy21是减函数 ∴21yy

∴xxy2221在),1[是增函数

在该问题中先确定内层函数（xxu22）和外层函数（uy21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

变式2 已知0a且1a，讨论232)(xxaxf的单调性.

【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，

指数417)23(2322xxx，当x≥23时是减函数，x≤23时是增函数， 而)(xf的单调性又与10a和1a两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设232uxx

2317()24x，

则当x≥23时，u是减函数， 当x≤23时，u是增函数， 又当1a时，uay是增函数，

当10a时，uay是减函数，

所以当1a时，原函数232)(xxaxf在),23[上是减函数，在]23,(上是

增函数. 实用标准 文档 当10a时，原函数232)(xxaxf在),23[上是增函数，在]23,(上是减

函数. 【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.

第二课时

例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数

换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)

【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y1(x0) yux00u1ux0)y()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222xxxxxxxu