第四讲 函数解析式的求法重 点：求解析式的方法．难 点：求复合函数的解析式．教学目标：掌握求解析式的几种常用方法教学过程：一、导入新课复习函数定义（重点是构成函数的三要素）．二、新课１．求解析式的常用方法：（１）待定系数法：例１．若)(x f 是二次函数，其图象过原点，且.5)1(,1)1(=-=f f 求：).(x f练习：1．若一次函数)(x f 满足()[]{}.78+=x x f f f 求：).(x f小结：①待定系数法适用于：已知所求函数解析式的一般形式；②解法是：根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组，解出系数的值，代回所设解析式．（２）换元法：（配凑）例２．⑴2()1f x x =+，求(1)f x +⑵2(1)22f x x x +=++，求()f x练习：2(1)21f x x +=+，求()f x例３．2(2)5f x x x -=+，求()f x练习：１．1)f x =２．已知：,1)1(22xx x x f +=+求).(x f 解法二：.2)(,2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 小结：①应用换元法求解析式的题型特征是：题中没有给出函数最简的解析式②解法是：通过换元，找出原函数的解析式．（还可以用配凑）（３）函数方程法（消元法）例４．已知：.2)(2)(x x f x f =-+求：).(x f小结：①例４的解法相当于消元法．②消元法的特点是在所给解析式中)(x f 与)(x f -中的自变量互为相反的数，或)(x f 与)1(xf 中的自变量互为倒数；得到相当于两个未知数的两个方程，求解。

（４）特殊值法：（选讲）例５．对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f求).(x f小结：此类型题的特点是：条件是：对于一切实数y x ,都成立．课后作业：求下列函数的解析式：1． 已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ．（)(x f 62)(22--=+=x x f x 或）2． 若,1)1(x x x f -=求)(x f ． （)(x f 11-=x ） 3．若221)1(x x x x f +=-，求()f x ． （()f x 22x =+） 4．若,)(2)1(x x f xf =+求)(x f ．()(x f )3122x x -= 5．若x x x f -=-2)23(，求)2(f ． （)2(f ＝94） 6．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．（)(x f 132x =-） 7．已知3f (x 5) + f (–x 5) = 4x ，求f (x )的解析式.（f (x ) = 25x .）函数表达式的求法一，函数的迭代特征（1）)]([)(),(1x f f x f x f n n -=； （2）na x x f a x x f n +=+=)(,)(；（3）b a a x a f b ax x f n --+=++=11,)(22（4）n n x f x x f 22,)(==； （5）x x f f x f f ==--)([)]([11； （6）1)1()(;1)(22=++=x f x f xx x f ； （7）1)1()(,)(=-++=x f x f a a a x f x x；二，函数表达式的求法（1） 拼凑成等号两端相同的形式已知f （x +1）=x 2x +。

求f(x)。

解：f （x +1）=x 2x ++1-1=21x ）（+-1；ｆ（ｘ）＝－１。

（２）引入新的字母进行转化 已知ｆ（x3x +）＝９ｘ＋８，求ｆ（ｘ）。

解：设ｔ＝1-t 19x 8t f 81-t 39t f ,13x x 3x +=+=-=+）（，）（，t ， ｆ（ｘ）＝1-x 19x 8+ （３）用多项式相等的法则确定系数已知ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=27x+26，求f （x ）。

解：设f （x ）=ax+b ，ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=262723+=+++x b ab b a x a ，a=3，b=2，f （x ）=3x+2。

另：ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=)(3x f =26271133+=--+x b a a x a ， a=3，b=2，f （x ）=3x+2。

（4）设制方程，消元求解（a ）利用互为倒数关系，一般模式如：㈠已知af （x ）+bf(x1)=cx,(a ，b ，c ≠0， 22b a ≠),求f （x ）。

解：用x 1代替x 后与原等式联立方程组得，{cx x bf x af cx x bf x af =+=+)()1()1()( 解得，f(x)=)(22x b ax b a c --。

㈡，已知2f （x1）+f(x)=x,(x ≠0),求f （x ）。

解：2f （x 1）+f(x)=x …⑴ 2 f(x)+ f （x 1）=x1…⑵ 解得f （x ）=x x 322- （b ）利用互为相反数（或倒置）关系，一般模式如：㈠，已知af （4x-3）+bf （3-4x ）=5x ，22b a ≠求f （x ）。

解：设t=4x+3，则3-4x=-t ，5x=4155+t ；将它们代入原式得af(t)+bf(-t)= 4155+t ；用-t 代替t ，与上式联立方程组得，{4515)()(4155)()(t t bf t af t t bf t af -=+-+=-+ （1）×a-（2）×b 得，（22b a -）f （t ）=a （4155+t ）-b （4515t -） f(t)=)(4)(15)(4)(152222b a b a b a b a --+-+= )(415)(415b a b a t ++-；f(x)= )(415)(415b a b a x ++-。

㈡，已知3f （x-1）+2f （1-x ）=2x ，求f （x ）。

解：设t=x-1，-t=1-x ，则，3f （t ）+2f （-t ）=2（t+1）3f （t ）+2f （-t ）=2（t+1）…⑴3f （-t ）+2f （t ）=2（1-t ）…⑵ 解得f （t ）=2t+52 f （x ）=2x+52。

（5）根据题意找出与题设所求的相关量的等价关系，进行字母代换。

（一）若f （x ）=x+1，求f （x+1）关于直线x=2对称的直线方程。

解：f （x ）=x+1，则f （x+1）=x+2，设点A （x ，y ）在所求直线的图像上，点),(000y x A 在f （x+1）的图像上，两点关于直线x=2对称，则有0x =4-x ，0y =y将0x ，0y 代入得：y=6-x 。

（二）在x ∈R 上，函数f （x ）关于直线x=2对称，并且[0,2]上的解析式为f(x)=2x-1，求f(x)在[2,4]的解析式。

解：设点A （x ，y ）在所求函数的图像上，点),(000y x A 为A 关于x=2的对称点，则有0x =4-x ，0y =y 。

因0y =20x -将0x ，0y 代入得：y=7-2x 。

（6）利用所含字母的“+”“-”号的变化以改变定义域，再利用函数的奇偶性改变函数的“+”“-”号，进行等条件转化。

如，已知函数f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)=x/x-2/,求当x ＜0时，函数f(x)的表达式。

解：设x ＜0，则-x ＞0； 又因f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，因x ＞0时，f(x)=x/x-2/, f(-x)=-f(x)=-x/x+2/，f(-x)=(-x)/(-x)-2/=-x/x+2/ f(x)=x/x+2/。

若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=11-x ，求函数f(x),g(x)的表达式。

解：由已知可得，f(-x)+g(-x)=11--x ， ①+②得：f(x)=112-x (奇函数)； 则有f(x)-g(x)= 11--x …① ， ①-②得：g(x)=12-x x （偶函数）。

又有已知f(x)+g(x)=11-x …②，函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。