专题训练(一) 求二次函数的表达式► 类型一 设一般式求二次函数表达式若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．1．如图1－ZT －1，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点B (0，－2)，它和反比例函数y ＝－8x的图象相交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为( )图1－ZT －1A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x －2D ．y ＝x 2＋x ＋22．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的变量x 和变量y 的部分对应值如下表：x … －3 －2 －1 0 1 5 … y…7－5－8－97…(1)求此二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．3．已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设D 是抛物线上的一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积． ► 类型二 设顶点式求二次函数表达式若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式：y ＝a (x －m )2＋k (a ≠0)，其中点(m ，k )为抛物线的顶点坐标，对称轴为直线x ＝m .4．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)，则该二次函数的表达式是( )A ．y ＝－(x －2)2－1B ．y ＝－12(x －2)2－1C ．y ＝(x －2)2－1D ．y ＝12(x －2)2－15．已知二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，有最大值4.求该二次函数的表达式．6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 轴交于点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，顶点M 到x 轴的距离为2，求此抛物线的函数表达式．7．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离为1，求抛物线的函数表达式．8．如图1－ZT －2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3，0)，顶点C 的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的表达式和直线BD 的表达式；(2)P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长的最大值．图1－ZT －2► 类型三 设交点式求二次函数表达式若给出抛物线和x 轴的交点，通常可设交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线和x 轴的交点的横坐标．9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状大小、开口方向均和抛物线y ＝－2x 2相同，则该抛物线的函数表达式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋610．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A (1，4)，B (5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，那么这个二次函数的表达式是____________．11．2017·百色经过A (4，0)，B (－2，0)，C (0，3)三点的抛物线的函数表达式是____________． 12．已知二次函数的图象经过点A (－1，0)，B (3，0)，C (4，10)，求该二次函数的表达式．13．已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴为直线x ＝2，抛物线和x 轴的两个交点之间的距离为6.求该二次函数的表达式．14．已知一条抛物线经过点A (－1，0)，B (0，－5)，且抛物线的对称轴为直线x ＝2，求该抛物线的函数表达式．详解详析专题训练(一) 求二次函数的表达式1．[分析] A 把A(m ，4)代入y ＝－8x，得m ＝－2，∴A(－2，4)．把A(－2，4)，B(0，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧4－2b ＋c ＝4，c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－x －2.2．解：(1)把(－2，0)，(－1，－5)，(0，－8)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝－5，c ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－8，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －8. (2)∵y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9，∴该抛物线的顶点坐标为(1，－9)，对称轴为直线x ＝1.3．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，则抛物线的函数表达式为y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝－2代入抛物线的表达式，得y ＝5，即D(－2，5)．∵A(3，0)， ∴OA ＝3，∴S △AOD ＝12×3×5＝152.4．[分析] C 设这个二次函数的表达式为y ＝a(x －h)2＋k. ∵二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)， ∴二次函数的表达式为y ＝a(x －2)2－1. 把(0，3)代入，得3＝(0－2)2a －1，解得a ＝1， ∴y ＝(x －2)2－1. 故选C.5．解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(3，4)． 设二次函数的表达式为y ＝a(x －3)2＋4. 把(4，－3)代入，得a ＋4＝－3，∴a ＝－7， ∴二次函数的表达式为y ＝－7(x －3)2＋4.6．解：由题意得该抛物线的顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2)．(1)当顶点M 的坐标为(－1，2)时，可设该抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋1)2＋2. 把A(－3，0)代入，得4a ＋2＝0， 解得a ＝－12，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x ＋1)2＋2；(2)当顶点M 的坐标为(－1，－2)时，可设该抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋1)2－2. 把A(－3，0)代入，得4a －2＝0，∴a ＝12，∴该抛物线的函数表达式为y ＝12(x ＋1)2－2.综上所述，该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x ＋1)2＋2或y ＝12(x ＋1)2－2.7．解：由题意，得抛物线的对称轴为直线x ＝1或直线x ＝3. 设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －1)2＋k 或y ＝a(x －3)2＋k.∵抛物线过点A(0，2)，B(4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝2，9a ＋k ＝3或⎩⎨⎧9a ＋k ＝2，a ＋k ＝3， 解得⎩⎨⎧a ＝18，k ＝158或⎩⎨⎧a ＝－18，k ＝258，∴y ＝18(x －1)2＋158＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18(x －3)2＋258＝－18x 2＋34x ＋2.8．解：(1)设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2＋4. 把点B(3，0)代入，得0＝(3－1)2a ＋4，解得a ＝－1. ∴二次函数的表达式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴D(0，3)．设直线BD 的表达式为y ＝kx ＋b ，把点B(3，0)，D(0，3)代入，得⎩⎨⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线BD 的表达式为y ＝－x ＋3.(2)设点P 的横坐标为a ，则P(a ，－a ＋3)，M(a ，－a 2＋2a ＋3)， ∴PM ＝y M －y P ＝－a 2＋2a ＋3－(－a ＋3)＝－a 2＋3a ＝－⎝⎛⎭⎫a －322＋94. ∴当a ＝32时，线段PM 长的最大值是94.9．[答案] D10．[答案] y ＝－12x 2＋2x ＋52[分析] ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，且经过点(5，0)， 根据抛物线的对称性，图象经过另一点(－1，0)． 设抛物线的交点式y ＝a(x ＋1)(x －5)． 把(1，4)代入，得4＝(1＋1)(1－5)a ， 解得a ＝－12，∴y ＝－12(x ＋1)(x －5)，即y ＝－12x 2＋2x ＋52.11．[答案] y ＝－38(x －4)(x ＋2)[分析] 设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －4)·(x ＋2)，把C(0，3)代入，得3＝(0－4)×(0＋2)a ，解得a ＝－38，故y ＝－38(x －4)(x ＋2)．12．解：设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －3)． 把C(4，10)代入，得5a ＝10， ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋1)(x －3)，即y ＝2x 2－4x －6.13．解：由题意可知抛物线和x 轴的两个交点的坐标为(－1，0)和(5，0)． 设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 把(3，－8)代入，得－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴y ＝(x ＋1)(x －5)，即y ＝x 2－4x －5.14．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2，且经过点(－1，0)， ∴由抛物线的对称性可知抛物线还经过点(5，0)． 设抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋1)(x －5)(a ≠0)， 把B(0，－5)代入，得－5＝－5a ， 解得a ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝(x ＋1)(x －5)＝x 2－4x －5.。