专题11 概率和统计、算法一．基础题组1. 【2005江苏，理7】在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016【答案】D2. 【2006江苏，理3】某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】D【解析】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出yx-，设x=10+t, y=10-t,24x y t-==，选D.3. 【2008江苏，理2】若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是▲．【答案】1 12【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612 P==⨯.4. 【2008江苏，理6】在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是▲【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯.5. 【2008江苏，理7】某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲序号i 分组 （睡眠时间）组中值（i G ）频数 （人数） 频率（i F ）1 [4,5) 4.56 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8)7.5 10 0.205[8,9]8.540.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=.6.426. 【2009江苏，理5】现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲ .【答案】0.2【解析】考查等可能事件的概率知识.从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.7. 【2009江苏，理6】某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s= ▲ .8. 【2009江苏，理7】右图是一个算法的流程图，最后输出的W=▲ .【答案】22【解析】考查读懂算法的流程图的能力.9. 【2010江苏，理3】盒子中共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________．【答案】1 2【解析】基本事件总数为C24＝6种情况，其中颜色不同共有C13×1＝3种情况，所以所求概率为36＝12.10. 【2010江苏，理4】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有__________根棉花纤维的长度小于20 mm.11. 【2010江苏，理7】下图是一个算法流程图，则输出S 的值是__________．【答案】63【解析】由流程图得S ＝1＋21＋22＋23＋24＋25＝1＋2＋4＋8＋16＋32＝63≥33.即S ＝63. 12. 【2011江苏，理4】根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m的值为.13. 【2011江苏，理5】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数3的两倍的概率是 . 【答案】31【解析】本题考查了概率的概念和古典概型的概率计算，是B 级要求，容易题.由题意得取Read a,b If a>b ThenElse End If Print出的两个数为：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共六种基本情况，则其中一个数是另一个数的两倍的为1和2及2和4两种，所以所求的概率为3162=.要熟知概率的概念和古典概型及几何概型的特征及计算方法.14. 【2011江苏，理6】某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差=2s . 【答案】2.3【解析】本题考查了统计中方差的概念和计算，是B 级要求，容易题.由题意得该组数据的平均数为7)658610(51=++++=x ，所以方差为2.3)12113(51222222=++++=s .要熟练掌握统计的相关计算和有关特征数的意义和作用.15. 【2012江苏，理2】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的特点，可得高二年级学生人数占学生总人数的310，因此在样本中，高二年级的学生所占比例也应该为310，故应从高二年级抽取50×310＝15(名)学生．.16. 【2012江苏，理4】下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是__________．17. 【2012江苏，理6】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________． 【答案】35【解析】由题意可知，这10个数分别为1，－3,9，－27,81，－35，36，－37,38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率63105P ==.18. 【2013江苏，理5】下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．【答案】3【解析】第一次循环后：a←8，n←2； 第二次循环后：a←26，n←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.19. 【2013江苏，理6】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________．20. 【2013江苏，理7】现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．【答案】2063【解析】由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063.21. 【2014江苏，理3】右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 .【答案】5开始输出结束YN【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =22. 【2014江苏，理4】从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .23. 【2014江苏，理6】某种树木的底部周长的取值范围是[]90,130，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm..【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．24. 【2015江苏高考，4】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.S ←1 I ←1While I 8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）【答案】7【解析】第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =【考点定位】循环结构流程图25. 【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6 【解析】46587666x +++++==【考点定位】平均数26. 【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【2016年高考江苏卷】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15⨯++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15s ⎡⎤∴=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1 【考点】方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.【2016年高考江苏卷】右图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .【答案】5 6【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.二．能力题组1. 【2005江苏，理20】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3.4假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？事件Di （I=1,2,3,4,5）,则A3=12345D D D D D ⋅⋅⋅ ，且41)(=i D P 由于各事件相互独立，故)()()()()(123453D D P D P D P D P A P ⋅⋅⋅=.102445)41411(434141=⨯-⨯⨯⨯ 答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.1024452. 【2007江苏，理17】某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.（4分） 【答案】（1）0.05（2）0.99；（3）0.02.0.8×C 14×0.8×（1－0.8）4－1=4×0.82×0.23≈0.02.三．拔高题组1. 【2006江苏，理10】右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 （A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158【答案】D【解析】将六个接线点随机地平均分成三组，共有2226423315C C C A =g g 种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有1114218C C C =g g 种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是158，选D .2. 【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩试题解析：（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++。