大题专项：统计与概率问题一、解答题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解：(1)由已知,有P (A )=C 22C 32+C 32C 32C 84=635.所以,事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )=C 5k C 34-k C 84(k=1,2,3,4).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=1×114+2×37+3×37+4×114=52.好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,用“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D (ξ1),D (ξ2),D (ξ3),D (ξ4),D (ξ5),D (ξ6)的大小关系.解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A ,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P (A )=50140+50+300+200+800+510=502 000=0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk={0,第k类电影没有得到人们喜欢, 1,第k类电影得到人们喜欢,则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ110P0.40.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;第二类电影:ξ210P0.20.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ310P0.150.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.127 5;第四类电影:ξ410P0.250.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.187 5;第五类电影:ξ510P0.20.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ610P0.10.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解：(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.(2019北京,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.解：(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P (C )=9+330=0.4,P (D )=14+125=0.6.所以P (X=2)=P (CD )=P (C )P (D )=0.24, P (X=1)=P (C D ∪C D ) =P (C )P (D )+P (C )P (D )=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52, P (X=0)=P (C D )=P (C )P (D )=0.24. 所以X 的分布列为故X 的数学期望E (X )=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A 的学生中,本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P (E )=1C 303=14 060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P (E )比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E 是随机事件,P (E )比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解：(1)X 可能的取值为10,20,100,-200. 根据题意,P (X=10)=C 31×(12)1×(1-12)2=38; P (X=20)=C 32×(12)2×(1-12)1=38; P (X=100)=C 33×(12)3×(1-12)0=18;P (X=-200)=C 3×(12)0×(1-12)3=18.所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i=1,2,3),则P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X=-200)=18. 所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P (A 1A 2A 3)=1-(18)3=1-1512=511512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为E (X )=10×38+20×38+100×18-200×18=-54.这表明,获得分数X 的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.某汽车公司拟对甲款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x (单位:亿元)与科技改造直接收益y (单位:亿元)的数据统计如下:当0<x ≤17时,建立了y 与x 的两个回归模型:模型①:y ^=4.1x+11.8;模型②:y ^=21.3√x -14.4;当x>17时,确定y 与x 满足的线性回归方程为y ^=-0.7x+a.(1)根据下列表格中的数据,比较当0<x ≤17时模型①、②的相关指数R 2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对甲款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.( 附:相关指数R 2=1-∑i=1n(y i -y ^i )2∑i=1n(y i -y )2,√17≈4.1)(2)为鼓励科技创新,当科技改造投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.附:用最小二乘法求线性回归方程y ^=b^x+a^的系数公式b ^=∑i=1nx i y i -nx ·y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n (x i -x )2;a^=y −b ^x (3)科技改造后,甲款汽车发动机的热效率X 大幅提高,X 服从正态分布N (0.52,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,则不予奖励;若发动机的热效率超过50%但不超过53%,则每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过53%,则每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.(附:随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 5) 解：(1)由表格中的数据,可知182.4∑i=17(y i -y )2>79.2∑i=17(y i -y )2.所以模型①的R 2小于模型②的R 2,说明回归模型②拟合的效果更好.所以当x=17亿元时,科技改造直接收益的预测值为y ^=21.3×√17-14.4=21.3×4.1-14.4=72.93(亿元). (2)由已知可得x -20=1+2+3+4+55=3,所以x =23.又y -60=8.5+8+7.5+6+65=7.2,所以y =67.2.b ^=∑i=15x i y i -5x y∑i=15x i2-5x 2=7 721-5×23×67.22 655-5×23×23=-710=-0.7,故a ^=y +0.7x =67.2+0.7×23=83.3.当x>17亿元时,y 与x 满足的线性回归方程为y ^=-0.7x+83.3. 当x=20亿元时,科技改造直接收益的预测值y ^=-0.7×20+83.3=69.3. 当x=20亿元时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元>72.93亿元.所以科技改造投入20亿元时,公司的实际收益更大. (3)因为P (0.52-0.02<X<0.52+0.02)≈0.954 5, 所以P (X>0.50)≈1+0.954 52=0.977 25,P (X ≤0.50)≈1-0.954 52=0.022 75,因为P (0.52-0.01<X<0.52+0.01)≈0.682 7,所以P (X>0.53)≈1-0.682 72=0.158 65,则P(0.50<X≤0.53)≈0.977 25-0.158 65=0.818 6.设每台发动机获得的奖励为Y万元,则Y的分布列为:所以每台发动机获得奖励的数学期望为E(Y)=0×0.022 8+2×0.818 6+5×0.158 65=2.430 45(万元).。