1 第一讲 速算与巧算 知识要点与学法指导： 1. 利用定律、性质进行速算，提高计算能力。
2. 引导学生发现数据特征，运用运算定律进行简单巧算。 3．让学生会运用“凑整”、“分拆”的方法进行简便运算。 4. 加、减法的一些运算性质： (1)a＋(b＋c)＝a＋b＋c (2)a＋(b－c)＝a＋b－c (3)a－(b＋c)＝a－b－c (4)a－(b－c)＝a－b＋c
例1 巧算下列各题：
（1）219＋648＋51－138－548－62 （2）100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋……＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1 【分析与解】 观察这个算式，可以发现219和51相加凑整，648和548相减
凑整，再利用减法性质a－b－c＝a－（b＋c），使138＋62也凑整。 2
所以： 解：（1）原式＝（219＋51）＋（648－548）－（138＋62） ＝270＋100－200 ＝170 这道题是100以内自然数的加减，共有100个数进行加减，直接计算显然太烦琐，题目中的运算符号，是按两加两减的规律排列的，可按每两个数一组进行分组，正好所得的差都是2。所以： 解：（2）原式＝（100－98）＋（99－97）＋（96－94） ＋（95－93）＋……＋（8－6）＋（7－5） ＋（4－2）＋（3－1） ＝2×50 ＝100 如果从第二个数开始每连续的4个数为一组，可以分为： 100＋（99－98－97＋96）＋（95－94－93＋92）＋……＋（3－2－1）。你会计算吗？ 想一想：还有没有其他的巧解方法？（从第一个数开始，每相邻的4个数为一组） 试一试1 （1）198＋394－94＋2＋81 （2）100－99＋98－97＋96－95＋……＋4－3＋2－1
例2 巧算下列各题。
（1）348－179 （2）2356－（256＋159） 【分析与解】 可以先把179分拆，拆成有一个和被减数尾数相同的数，再进行计算。 解：（1）原式＝348－148－31 ＝200－31 ＝169 【分析与解】 3
可以把括号内的数凑成和被减数尾数相同的数，再利用减法性质：a－(b＋c)＝a－b－c使运算简便。 解：（2）原式＝2356－（256＋100＋59） ＝2356－356－59 ＝2000－59 ＝1941 试一试2 （1）938－589 （2）4636－（436＋281）
以上两题运用的是“凑整”和“拆分”的方法，使运算简便。 例3 计算：599996＋49997＋3998＋407＋89
【分析与解】 观察这道题目，每个加数它们都是接近整十万、整万、整千……的数，可以先把它们转化为整十、整百的数减去一个数的形式，再把整十、整百的数和减去的那个数分别计算。 解：原式＝（600000－4）＋（50000－3）＋（4000－2）＋ （400＋7）＋（90－1） ＝654490－4－3－2＋7－1 ＝654487 试一试3 98＋998＋9998 乘法运算中可以运用交换律、结合律和分配律，使运算简便。 即：乘法交换律：a×b＝b×a； 乘法结合律：a×b×c ＝（a×b）×c ＝a×（b×c）； 乘法分配律：（a±b）×c＝a×c± b×c
例4 巧算下列各题：
（1）18×4×25 （3）125×（10＋8） 4
（2）125×（16×8） （4）（20－4）×25 【分析与解】 利用乘法结合律，先算4×25，再算18×100。（2）题也是这样的特点。 解：（1）原式＝18×（4×25） ＝18×100 ＝1800 解：（2）原式＝（125×8）×16 ＝1000×16 ＝16000 【分析与解】 （3）、（4）题都是直接运用乘法分配律进行计算的，乘法对加法的分配律，也适用于减法。 解：（3）原式＝125×10＋125×8 ＝1250＋1000 ＝2250 （4）原式＝20×25－4×25 ＝500－100 ＝400 有些题目可以将乘法分配律反过来使用，即 a×b±a×c＝a×（b±c）。 这个公式极为常用，一定要掌握。 试一试4 （1）125×72 （2）153×25＋25×47 （3）67×54＋67×45＋67
例5 巧算下列各题：
（1）17×21 （2）11111×99999 （3）275÷25 5
【分析与解】 （1）题把21转化成20＋1，就也可以运用乘法分配律计算了。而（2）中的99999可以写成10000－1的形式，再运用乘法分配律进行计算。 解：（1）原式＝17×（20＋1） ＝340＋17 ＝357 解法一 解：（2）原式＝11111×（100000－1） ＝1111100000－11111 ＝1111088889 这里再介绍一种一个数乘11、111、1111……的简便算法，11、111、1111……可以表示为10＋1， 100＋10＋1， 1000＋100＋10＋1……的形式，再运用乘法分配律进行计算，可以使计算简便。所以： 解法二：原式＝99999×（10000＋1000＋100＋10＋1） ＝999990000＋99999000＋9999900 ＋999990＋9999 ＝1111088889 【分析与解】 （3）从题目中可以看出，除数如果扩大4倍，变成100，可以使运算简便；根据商不变性质，“被除数和除数同时乘或除以相同的非零数，商不变，”把被除数和除数同时乘4，所以： 解：（3）原式＝（275×4）÷（25×4） ＝1100÷100 ＝11 试一试5 （1）25×24 （2）9999×2222 （3）132476×111 （4）1375÷125 6
例6 巧算下列各题。
（1）260×（740÷260） （2）390÷（390÷220） （3）5250÷125÷8 （4）532÷（19×14） （5）（121×52×15）÷121 （6）（39＋65＋13）÷13 （7）46÷7－11÷7 【分析与解】 （1）一个数乘两个数的商，可以用这个数先乘商里的被除数，再除以商里的除数。也可以先用这个数除以商里的除数，再乘商里的被除数。用字母表示为：a×（b÷c）＝a×b÷c ＝a÷c×b。 260×（740÷260） ＝260÷260×740 ＝1×740 ＝740 （2）一个数除以两个数的商，可以用这个数先除以商里的被除数，再乘商里的除数。用字母表示为：a÷（b÷c）＝a÷b×c。 390÷（390÷220） ＝390÷390×220 ＝1×220 ＝220 （3）、（4）在连除式中，一个数除以另一个数所得商，再除以 第三个数，等于第一个数除以第二、三两个数的积，反之也成立。 用字母表示为：a÷b÷c＝a÷（b×c）。 5250÷125÷8 532÷（19×14） ＝5250÷（125×8） ＝532÷19÷14 ＝5250÷1000 ＝28÷14 ＝5.25 ＝2 （5）几个因数的积除以一个数，可以用其中一个因数除以这个数后，再和其它的因数相乘。 用字母表示为：（a×b×c）÷d＝a÷d×b×c 7
＝b÷d×a×c ＝c÷d×a×b （121×52×15）÷121 ＝121÷121×52×15 ＝1×52×15 ＝780 （6）几个数的和除以一个数，可以把各个加数分别除以这个数，再把所得的商相加。 用字母表示为：（a＋b＋c）÷d＝a÷d＋b÷d＋c÷d （39＋65＋13）÷13 ＝39÷13＋65÷13＋13÷13 ＝3＋5＋1 ＝9
（7）两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相减。用字母表示为：（a－b）÷c＝a÷c－b÷c 46÷7－11÷7 ＝（46－11）÷7 ＝35÷7 ＝5 试一试6 （1）36×（66÷36） （2）280÷（280÷86） （3）266÷（7×38） （4）3250÷250÷4 （5）（25×26×15）÷25 （6）（360＋24＋60）÷12 （7）74÷6－14÷6 8
练习一 一、巧算下面各题： （1）673＋288 （2）9898＋203 （3）5561－4998 （4）856－(256＋137) （5）825－359 （6）346＋837＋154－237－32－68 （7）375＋219＋381＋225 （8）5001－247－1021－232 （9）2357－183－317－357 （10）2365－1086－214＋135 （11）995＋996＋997＋998＋999 （12）799998＋79997＋7996＋797＋18 二、下面各题怎样算简便就怎样算。 （13）38×101 （14）3333×9999 （15）25×32＋75×48 （16）127×102－127×2 （17）178×101－178 （18）138×4×25