1-
qn
1
若：q≠1
Sn

a1(1 qn ) 1 q
若q=1, Sn na1
{a1(1-q n)
∴ Sn=
1-q
(q=1)
a n· 1 (q=1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1 6
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
练习:
（1）如果一个等比数列前5项的和等 于10，前10项的和等于50，那么它前 15项的和等于多少？
(2) 已知Sn是等比数列an 的
前n项和, 且Sn 48, S2n 60. 求S3n的值.
思考：
求和：Sn

1 2

2 4

3 4 8 16

n 2n
.
（提示：设 an

na1(q 1)
若{an}是等比数列 an kqn
（1） an am qnm
qnm an
（2）
am
若m n p q,
求q
则am an ap aq
（3）若数列 {an} 是等比数列，则 Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4习1
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
S6

3 (1 26 ) 1 2
189 .
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
S5

2.4 [1 (1.5)5 ] 1 (1.5)
.
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为
S
S10 S4
1 210 1 2
1 24 1 2
或 S a5 1 q6 1 q
24 1 26 1 2
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
3、求和：(x
1) (x2 y
3. 求等比数列 3 , 3 , 3 , 从第3项到第7项的和.
2 48
解： a1

3,q 2

1 2 , S7

3

1


1

7

2 2
1 1
381. 128
2
从第3项到第7项的和:
S7


3 2

3 4


381 128

9 4

153 128
10
1
1


1
10


Sn

a1(1 qn ) 1 q
S10
2 1
1
2
1023. 512
（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3
解（2）S3

2 （1- 33）
1-3
26
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18，求它的第1项与第2项
q a 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
消
a1q 2
a1q
3

12 18

a1

16 3
q

3 2
a2

a1q

16 3

3 2

8
元
16 答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8
2S30 2(1 2 22 23 229 ).
即2S30 2 22 23 L 229 230. S30 2S30 1 230
(2)
S30 1 230 S30 230 1 1073741823 分
≈1073.741万元
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
=
a1 ( 1 – 1–q
q
n
)
(q 1)
7
等比数列前n项求和公式
于是
Sn

na1, a1
(q a1q n
1 q
1), , (q
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 110%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为: a6 a1q5 300(110%)5 3001.15 483(万元)
这5年的总利润为:
S

a2(q5 1) q 1

300
1.1
1.15 1 1.1 1
1 1
40
3
等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：
a1
1, q 2,
1 (1 24 )
S4 1 2 15.
S10

1 (1 210 ) 1 2
1023
.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008 .
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
n(n 1) Sn na1 2 d
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
n 2n

n

1 2n
，其中n为等差数列，
1

2
n

为等比数列，公比为

1 2
，利用错位相减法求和.）
你能登上 月球吗?
能?!
只要你把你手上 的纸对折38次我就 能沿着它登上月球。
哇…
列式： M=1+2+4+8+…+237（页）
课堂小结： 1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及
等比数列前n项求和公式
推导公式
a a q 已知： 等比数列 { n}， 1， ， n
求：Sn
解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an
=a1+a1q +a1q2+a1q3 +…+a1qn-1
作 减
sq n=a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
法
a a (1-q)Sn=

1 y2
)


(xn

1 yn )
14
an1 常数
1.定义：{an}为等比数列 ___an_____
2.通项公式：an __an___a_1q_n1
3推.前广n：项a和n 公_式a_m_q:_Sn_nm____
a1(1 qn 1 q
)
(q

1)
4.重要结论：
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q an 1
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= ab
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq

1).
na1, (q 1)
Sn

a1

anq

1 q
, (q 1).
已知a1,q, n时
已知a1,q, an时
通项公式: an=a1• q n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 1，1 , 1 , 1 , 的前10项
的和.
248
解:

a1
1, q

1 ,n 2
公式的应用；
2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注 意公比q 3.反思推导求和公式的方法——错位相减法，
可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为 等差数列 ，yn 为等比数列.
布置作业:
课本p31习题1-3 B组2、3. 4
设小林30天得到的钱数T30
T30
123

30
(1 30)30 2

465(万元)
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 22 23 229（分）
引入新课
这种求和
同学们考虑如何求出这个和？
的方法,就
S30 1 2 22 23 229. 是(减1错)法位!相
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列