解：∵数列的通项公式为 1 1 1 1 an= = ( ) (3n-1) (3n+2) 3 3n-1 3n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ( - + - + - +…+ 3 2 5 5 8 8 11 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2 1 1 1 1 = ( )= 3 2 3n+2 6n+4
12 1 1 1 1 ∴ Sn=(2-- 0 )+(2-- 1 )+(2-- 2 )+…+(2-- n-1 ) 2 2 2 2
1 1× （1- n ） 2 1 =2n=2n+ n-1 –2 1 2 1-
1 1 1 1 =2n-( 0 + 1 + 2 +…+ n-1 ) 2 2 2 2
小结 3： 本题利用的是“分解转化求和法” 方法：
① ②
①－②得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1 化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
0
综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2
(x=0)
(x=1) (x≠1）
x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。
练习 3
求和：1+（1+2）+（1+2+22)+…+(1+2+22
+…+2n-1)
分析：利用“分解转化求和”
总结：
常见求和方法 直接求和 （公式法） 倒序求和 错项相减 裂项相消 分解转化法 适用范围及方法 等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。 等差数列的求和方法 数列{ anbn}的求和，其中{an} 是等差数列，{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。 把通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。
小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.
练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2, 然后利用“错位相减法”求和.
1 1 1 1 例2：求和 Sn= + + + …+ 2×5 5×8 8×11 (3n-1) (3n+2)
练习 2： 求和 1 1 + 1×4 4×7 1 (3n-2)×(3n+1)
1 + 7×10
+…+
1 1 1 1 分析： an= = ( ) (3n-2)×(3n+1) 3 3n-2 3n+1
接下来可用“裂项相消 法”来求和。
例 3：求和 1 1 1 1 1 1+(1+ )+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1+ + )+…+(1+ + +…+ 2 2 4 2 4 1 1 ) 1× （1- n ） 2n-1 1 1 1 2 1 =2- n-1 解：∵an=1+2 +4 +…+2n-1 = 1 2
小结2：
本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。 方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
此方法应注意： 对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。
方法：直接求和法
例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn，… 的前n项和。 解： ⑴当x=0时 S =0
n
⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x≠1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1
1 等差数列求和公式：
（1）Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/2
2 等比数列求和公式：
a1(1-qn) (1) Sn= 1-q a1-anq (2) Sn= 1-q
q≠1 q≠1
当q=1时,Sn=na1
练习: 求和
1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2