§5 二重积分一、三重积分的概念1三重积分的物理解释设非均匀物体A内分布着一种物质，其密度为，(x,y,z)，并假定T在A上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A的质量是m= ?(x, y, z)dxdydzA2三重积分的定义P243-2443三重积分的性质、可积条件与二重积分类似线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等•二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分1长方体[a,b] [c,d] [k,h]上的积分定理21.15设A二[a,b] [c,d] [e, f]，f是A上的连续函数，那么f在A上的三重积分b d f可以化为先对z，后对y,x的积分：丨丨丨f (x, y, z)dxdydz= dx dy f (x, y,z)dz，-a c eA或先y > x > z:f b dII .1 f (x, y, z)dxdydz= dz dx f(x,y,z)dye a cA等等(共6种)，并且此时(f连续时)，各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。
b d hIII f (x, y,z)dxdyd^ dx dv f (x, y,z)dz.ackV2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域(典型区域)的定义V 二{(x,y,z)|Z i(x,y)乞z ^Z2(x,y), (x,y) D},其中D 为V 在XY 平面上的投影，D =《x, y)|a 兰b, y i(x)兰y 兰y2(x)> 或者D ={(x,y) ^d,x1 (y)兰x2(y)}注 此例要求学生解答，学生画出积分区域的图形普遍困难，由此导出“求围定顶”法 3三重积分的“求围定顶”法4三重积分的“先二后一”(“截面法”)hIII f (x, y, z)dxdydz = dz f (x, y, z)dxdy ,Vk D z其中V 介于平面z 二k 和z 二h 之间，D z 是用平面z 二z 截V 所得的截面.“先二后一”多用 于围成V 的闭合曲面由一个方程给出的，二重积分部分的被积函数往往为常数，并且积分区 域的面积函数可以求出的情况.( 2 2 2、 222例2 J J 百+占+勺dxdy,dz V : 笃+与+务兰1.P246v Va b c ) a b cZ i (x, y),Z 2(x, y)在 D 上连续,y i (x),y 2(x)在［a,b ］上连续,X i (y),X 2(y)在［c,d ］上连续.方法将三重积分先化为一个定积分与一个二重积分(先一后二)，进而化为三个定积分.Z 2(x,y)by 2(x)Z 2(x,y)［f( f (x,y, z)dxdydz = "dxdy Jf(x,y,z)dz = J dxj dyj ( 、f(x,y,z)dz ( 3)a y (x) z (x,y)公式解释“点一点，线一线，面一面”重积分的直接计算方法举例(先一后二) 补例】，D 有平面x 『z " = 0,y =0,z =0所围成区域.P245补例2 2 2xydxdydz ， D:锥面 乡=笃+与，平面 z = c,x=0,y = 0 所围(a,b,c>0) x c a 'b 2dxdydz ! 1 1 2 2 , V x yV : x =1, x =2,z=0, y=x, z = y . P245.V ={ (x,y,z) |0_z_y, 0_y_x,ydz!!!： Mdxdy 。
一2V 0今空， x y空运ydxdy J J 2 丄 2 0匕空，X y 1空二=1 12l n(x 2 y 2)y分 y=0 1 2 dx ln 2dx 二 2 11 — In 2. 22 2 2in111 X 2dxdydz 亠 m 当dxdydz 亠 m 刍 dxdydz. VV a V b V c解法1 ( “先二后一”)2a 2I i 笃 dxdydz = 2 刍 dx 11 dydz ,V a o a D X2 2其中D x 为椭圆域与叮b c4二abc.15“ x 2 y 2； ---- L T1f2 r 31-r 2dr =HH t 2(1-t 2)dt ：15其面积为 2 x2a2 x2a=叱c 1一2x~2 a因此孑dxdydz = 2二 be 2x 12 dx 4二abc.a 215 15 2dxdydz = 2 亍dxdy dz = 2cx 2y 2ax二：1 a2b 2 _a 2'? a 22 2x y-2 dxdy - b 2=8abc cos12nd v r 3 . 1 - r 2 dr .因此x 22 dxdydz = 8abc ― V a 4 2 4 abc. 同理 ..... 15 152冷，即椭圆域a 同理得因此=3 — ~ab (15)解法 2 ( “先一后二” V 上下对称,)2 x2a为z 的偶函数,x 2—dxdydz 2 ,其中 V 为 V 在 XOYV a平面上方的部分, 其在XOY 平面上的投影为椭圆2 x~2a”.于是cos 2」sin" '22ib 22 \x2c2 x2a于是 4 4 I | :：3 a b c a b c 」」丁15 5 1 l思考题 设o f (x)dx = .、2 .计算积分 f(x)f (y)f(z)dxdyd, z V : 0_x_1, O_y_x, O_z_x . V x 1 x x 解 ！!！： , f(x)f(y) f (z)dz = f (x)dx f (y)dy f (z) dz =V0 •:x・：1, 0 0 0 00勺空x12 t f (y)dy 2(x、f x、 山 21 3"2 2 *-=J ( 0 f (y)dy J d 估 f (y)dy = = = = =f4 £t = -t |0 =石12 .0 4。
3 3三、三重积分换元法三重积分的变量替换公式设在三重积分 H I f (x, y, z) dxdydz 作变量替换:Dx = x(u,v, Jy = y(u,v, J (u, v, ) D' z =z(u,v, J又设这一变换满足下列条件： (1) 建立了 D'之间的一一对应；(2) x,y,z 在D'内有关 于U,v 「的连续偏导数，并且其通变换：u =u(x,y,z),v =v(x,y,z),；r ：；r(x, y,z)在D 内有关于 . X u x, y,z 的连续偏导数；(3) Jacohi 行列式J = "x, y, z)= 丫口 点(u,v,B) z u y v 沧在D'内无零点，则 z v 抵 川 f (x,y,z)dxdydz 二 JJj f (x(u,v,8), y(u,v,m),z(u,v,m)) J dudvd® D D' 公式把xyz 坐标系下的三重积分化为uv 坐标系下的三重积分.和二重积分类似，当 J 在D'内个别点或线段上为零时，上述公式仍成立. 特别地有 1柱面坐标代换 x = r cos 二 y 二 r sin 二，z = z ， (r _ 0,0 _ 二 _ 2二，-：：:：z ：：::)，讯x,y,z)级r,8,z) 三重积分的柱坐标换元公式为111 f (x, y, z)dxdydz= !!! f (rcos^, r sin - ,z)r^drdz .D'用柱坐标计算三重积分，通常是找出D'在宀平面上的投影区域，那当D '」(x,r,R |z i(r,R 一z 一Z2(r,d),(r,d)；二J 时，Z2 (r，3i n f(x,y,z)dxdydz二drdR z(r T f(r\ryz)dzD屯1'先对z积分，再计算二y上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算(极坐标系下的二重积分)适用于f(x2 y2)型被积函数，或积分区域中二重积分部分的积分区域适用于极坐标变换.例 3 ill (x2y2)dxdydz , V : 2(x2 y2) = z, z = 4.V解P2482球坐标变换球面坐标设空间一点M(x, y,z)在zy平面上的投影为P( x,y)，OM = PQ兰P c协，®是有向线段OM 与z轴的正向之间的交角(0「飞二)，-是两平面xz与POM的交角(0空八乞2二)，则(八:二)叫做点M的球面坐标.在球面坐标中，有三族坐标平面：匸=常数，以原点为中心的球面；=常数，以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；二=常数，过z轴的柱面(两两正交是正交坐标系) 点M的直角坐标与它的球面坐标的点系为：x = ?sin cos 亠y =：'sin sin), z = : cos「，0 乞二乞2二，0 — - ■: ,0 -：：：：|J 卜：?2sin (0 _ ：：：：：：,0 - 一…，0 _2二)H I f (x, y, z)dxdydz= 111 f (^sin :cos寸,「sin sin 寸,^cos :) ：2sin d寸d d (6)D D'适用于积分区域或被积函数是f(x2 y2 z2)型：例 4 P250例 5 P250补例3 I二zdxdydz，D由上半球面x2 y2 z2 = 4(z 一0)和抛物面x2 y2 = 3z所围的区域.补例4求球面x2 y2 z2 =2rz（r .0）和锥面所围区域的体积V,其中锥面是以Z轴为轴, 顶角为2〉的锥面。
2 2 2补例5求曲面（冷•爲•刍）2二ax，（a,b,c . 0）所围区域的体积V.a b c作业P251: 1（1）、（4），3（1），4（1）.附录n重积分的例子例 1 乂二川I dx1dxjl|dx n，其中D n =；（X1,X2, |||X n） |X1 X2 III X n —a,x -0」=1,2,|||, J，（a 0）（P262）几何意义：n维超平面x-! x2 Jll - x n二a和各个坐标系平面所围n维区域的体积例2求n维球x； x22川x n2乞R2的体积V2（P263）。