由上式解得
[ x xe (t ' )]2 r t' t t c c
其中v=xe( t’)/t’是 粒子在时刻t’的速度。
t ' t
r 1 v r v er r 1 c c
er为r方向单 位矢量
9
再求t’式对x的梯度。由于 r=| xx(t') |为x和t'的函数， 而t'又隐含x，因此
.. . 令p=exe为带电粒子的电偶极矩，则 p e v
与电偶极辐射公式一致。低速运动带 电粒子当加速时激发电偶极辐射。
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辐射能流、方向性和辐射功率的计算和电偶 . 极辐射相同。以代表r和 v 的夹角，辐射 能流为
2 qv 2 S sin er 2 3 2 16 0c r . 因子sin2表示辐射的方向性。在与 v 垂直 的方向上辐射最强。
v c
1
v2 c2
李纳一维谢尔（Lienard—Wiechert)势
A
qv q , 2 v v 40c (r c r ) 40 (r c r )
注意上式右边各量都是在时刻t’=t - r/c上 所取的值，例如v =v(t')，r=x-xe(t')等．
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t ' t
r 1 v r v er r 1 c c
r er t ' v r v er c( r ) c(1 ) cr cr
利用这两个公式可由势的公式求出电磁场
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2．偶极辐射
v<<c
t ' r er 1 t ' t cr c
r x xe (t ') c(t t )
'
3
为了计算带电粒子激发的势，我们把 粒子看作在小体积内电荷连续分布的 极限。由推迟势的一般公式为
r ( x ', t c ) ( x, t ) dV ' 4 0 r
0 J ( x ', t ) A( x , t ) dV ' 4 r
第七章 带电粒子和 电磁场的相互作用
1
主要内容：
一、运动带电粒子的势和辐射电磁场
四、切连科夫辐射 五、带电粒子的场对粒子本身的反作用 六、电磁波的散射和吸收，介质色散
2
§1 运动带电粒子的势和辐射电磁场 1．任意运动带电粒子的势
带电粒子在外力作用下沿某一 特定运动。在场点x处，在时刻 t的势是粒子在较早的时刻t'激 发的，该时刻粒子处于xe(t')点 上，其运动速度为v(t')，粒子 与场点的距离为
1 1 1
v2 c2 v2 c2
qv ~ 4 0 c 2 r q
1

1
~ 4 0 r
6
式中 r 可以把它改用系上的距离表示
~ ~ ~ r c( t t ' ) c ( t t ' ) ( x x' )
v c
~
1
v c2
2

r r
1 1 1 r ( t ' ) t ' r r t ' c c c t ' t ' C r v r t ' cr cr
解出
r er t ' v r v er c( r ) c(1 ) c c
库仑场 辐射场
13
qr
库仑场与r2成反比，它存在于粒子附近，当r 大时可以略去。略去库仑场后，得低速运动粒 . 子当有加速度 v 时激发的辐射电磁场
E B
q 40c r
2
) er (er v
1 e e E v r r 3 40c r c q
把势A和 的公式对时空坐标微分后 再令v0, 得
B A A t ' C
A t ' t '
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qv r r qv B 2 3 40c r cr 40c 2 r
A qv qr E t ' 2 3 t 4 0 c r 4 0 r t ' qr qv r qv r 3 2 4 0 r 4 0 c r cr 4 0 cr q ) r ( r v 4 0 r 3 4 0 c 2 r 3
r c
4
对带电粒子来说，J= v ，v为粒子在辐射时 刻t’=t - r/c的速度。 由上式看出，势依赖于 粒子运动的速度，但不依赖于加速度。
选择一个在粒子辐射时 刻相对静止的参考系
~ Σ
~
~ , A 0 ~ 40 r
q
在其上观察，(x，t) 点上势的瞬时值与 静止点电荷的势相 同
7
把势对场点空时坐标x和t求导数可得电 磁场强。注意右边是t’的函数，而求电磁 场时要对x和t求导数。
[ x xe (t ' )] r t' t t c c
2
给出t’为x和t的隐函数。必须先求t’/t和t’。
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t ' 1 r ( t ' ) t ' 1 t c t ' t 1 xe ( t ' ) t ' 1 r cr t ' t v r t ' 1 cr t
~ ~ ~ r ct t '
q为粒子的电荷
~ r
在静止参考系上观察 的粒子与场点的距离
5
变回原参考系上
在上观察，粒子在时刻 t’的运动速度为v，因此v ~ 也就是参考系 相对于的运动速度。对上述势应 用洛伦兹变换式
A
~Hale Waihona Puke v c21 ~
v c2
2
v c2
2

2
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总辐射功率为
2 2 qv P S nr d 3 60c
2
上述公式可以近似地应用于X射线辐射问题上，X射 线连续谱部分是由入射电子碰到靶上受到减速而产 生的。当电子突然变速时，产生一脉冲电磁波，形 成X射线的连续谱部分。
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