三角形中位线定理
【学习目标】
1. 理解三角形的中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.
2. 掌握中点四边形的形成规律.
【要点梳理】
要点一、三角形的中位线
1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
要点诠释:(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个
小三角形的周长为原三角形周长的1
2
,每个小三角形的面积为原三角形
面积的1
4
.
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
(1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形.
(2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形.
(3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、三角形的中位线
1、(优质试题•北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
【思路点拨】(1)根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.
(2)首先证明∠BMN=90°,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题.
【答案与解析】(1)证明:在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,
∴MN∥AD,MN=AD,
在RT△ABC中,∵M是AC中点,
∴BM=AC,
∵AC=AD,
∴MN=BM.
(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=30°,
由(1)可知,BM=AC=AM=MC,
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,
∵MN∥AD,
∴∠NMC=∠DAC=30°,
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,
∴BN2=BM2+MN2,
由(1)可知MN=BM=AC=1,
∴BN=
【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.
举一反三:
【变式】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上,B点坐标为(3,2),OB与AC交于点P,D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,则四边形DEFG的周长为_____.
【答案】5;
解:∵四边形OABC是矩形,
∴OA=BC,AB=OC;BA⊥OA,BC⊥OC.
∵B点坐标为(3,2),
∴OA=3,AB=2.
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,
∴DE=GF=1.5; EF=DG=1.
∴四边形DEFG的周长为(1.5+1)×2=5.
2、如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,AH是高.(1)若BC=10,AH=8,则四边形ADEF的面积为.
(2)求证:∠DHF=∠DEF.
H
F E
D
C
B
A
【思路点拨】(1)由三角形面积公式可知:△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一,进而可求出四边形ADEF的面积.
(2)首先证明四边形ADEF是平行四边形,进而可得∠DEF=∠DAF,再利用直角三角形的中线性质得线段相等,从而得角等,最终可得到∠DAF=∠DEF,即可证出∠DHF=∠DEF.【答案解析】
(1)解:∵BC=10,AH=8,
∴S△ABC=×8×10=40,
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,
∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的,
∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20,
故答案为:20;
(2)证明:
∵D、E、F分别是△ABC各边中点,
∴DE∥AC,EF∥AB,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴∠DEF=∠DAF,
∵AH是△ABC的高
∴△ABH、△ACH是直角三角形,
∵点D、点F是斜边AB、AC中点,
∴DH=DA,HF=AF,
∴∠DAH=∠DHA ,∠FAH=∠FHA ,
∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ,
即∠DAF=∠DHF ,
∴∠DEF=∠DHF .
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定,三角形的中位线定理,直角三角形的性质,解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF .
3、如图所示,在△ABC 中,M 为BC 的中点,AD 为∠BAC 的平分线,BD ⊥AD 于D ,AB =12,AC =18,求MD 的长.
【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系,但由M 为BC 的中点联想到中位线,另有AD 为角平分线和垂线,根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ,D 为BN 的中点,DM 即为中位线,不难求出MD 的长度.
【答案与解析】
解:延长BD 交AC 于点N .
∵ AD 为∠BAC 的角平分线,且AD ⊥BN ,
∴ ∠BAD =∠NAD ,∠ADB =∠ADN =90°,
在△ABD 和△AND 中,
BAD NAD AD =AD
ADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
== ∴ △ABD ≌△AND(ASA)
∴ AN =AB =12,BD =DN .
∵ AC =18,∴ NC =AC -AN =18-12=6,
∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点,
∴ DM =12
CN =162⨯=3. 【总结升华】当条件中含有中点的时候,可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来,进行联想,必要时添加辅助线,构造中位线等图形. 举一反三:
【变式】如图所示,四边形ABCD 中,Q 是CD 上的一定点,P 是BC 上的一动点,E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点;当点P 在BC 边上移动的过程中,线段EF 的长度将( ).
A.先变大,后变小 B.保持不变 C.先变小,后变大 D.无法确定
【答案】B;
解:连接AQ.∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点,
∴ EF是△PAQ的中位线,即AQ=2EF.
∵ Q是CD上的一定点,则AQ的长度保持不变,
∴线段EF的长度将保持不变.
4、我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;
(2)如图2,若点D在△ABC的内部,(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】
(1)运用中位线的性质,找出对应相等的角;
(2)根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形.
【答案与解析】
解:(1)取AC的中点H,连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB,且EH=1
2
AB
同理FH∥DC,且FH=1
2
DC。