化归方法在中学数学中的应用马晓青，任孚鲛师学院数学系，晋中，030619[摘要]：在求解中学数学问题时，通过化归方法，可以使原问题简单化。
具有较强的方向性、目的性]3[。
直接求解是比较困难的，通过分析、观察，用化归方法将庞大的问题转换成简易的问题，把不常见的或难以处理的问题转换成常见的或已经处理过的问题。
通过化归方法，学会分析和处理题目，进而培养学生的思维能力和处理问题的技能]13[。
[关键词]：转化；映射；解题策略引言研究数学史，就可以发现有很多的人通过不同的方面阐述了化归方法在数学中的思想，在《指导思维的法则》中笛卡尔提出了通用的法则：]8[第一，把不同类别的问题转化成数学问题；第二，把各种不同类别的数学问题转化成代数问题；第三，把不同类别的代数问题转化成方程式的求解。
化归思想是运用转化或进一步转化，把待处理的问题转换成比较容易处理的问题，或转换成一个已经处理了的问题，进而转换成大家所熟悉的常识性的问题，其模式图如下图1：图11 化归的基本思想]1[1.1 含义化归方法是分析、解决中学数学问题的关键，也是解决问题常用的策略。
所谓的化归思想方法，就是把待处理或未处理的问题，通过不同的转换过程，就可以转换成已经处理或者比较容易处理的问题，进而是求解原问题的一中方法。
1.2 作用我们求解问题时，通过发现、分析、讨论，将难以解决的问题转换成熟悉的、或能处理的问题。
（1）代数方面，在解一般方程或不等式时，把多元转化为一元、高次化为低次、分式化为整式、无理化为有理等；（2）在解三角函数时，可以通过三角的诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，把不同名的三角函数化成同名的三角函数；（3）解立体几何时，把复杂的图形转化成简单的图形，把空间的复杂问题化为平面简易问题。
2 化归方法遵循的基本原则]7[在数学学习中，为了能更好更快的掌握化归方法，我们需要遵循以下的化归原则：2.1 具体化原则]13[具体化的化归原则是指把抽象的转化成具体的，分析和解决问题时尽可能将原问题简单、具体，用具体的式子来表示抽象的语言描述，把握其中的数量关系，明确原问题中的不同概念间的联系。
例1.求函数131345x F 2424++-+--=x x x x x ）（的最大值。
分析：通过观察函数）（x F ，此函数结构复杂，不能用常规方法求解，只能将其具体化。
由函数中的根式联想到距离问题，此问题的关键是两个根式的被开放式通过拼凑化成平方和的形式。
由此222222)1()2()3(x F x x x x ++--+-=）（可转化为：求点）（2,x x 到点）（3,2M 与点)10(-，N 距离之差的值最大，转化成求抛物线2y x =上的一点，使PN PM -的值最大化。
2.2 熟悉化原则熟悉化是我们将不常见的问题转化成常见的问题，有一定的解题模式，也很容易把握。
通常，我们通过已有知识和经验，从而解决原问题。
如把不是等差和不是等比的数列通过一些转化，化成等差数列和等比数列。
例2.设复数1Z 和2Z 满足关系式0Z A Z A Z Z 2121=++，其中A 是复数且0A ≠，试证明AZ A Z |A Z A Z |2121++=++. 分析：本题运用熟悉的知识即实数a |a |=的充要条件是0a ≥，即可使原题目得到解决。
因为 0Z A A 2121=++Z Z Z ,0A ≠()()()()()222121222121A Z A A Z A Z A Z Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z ++++=++++=++ 0|A Z ||A |0222>++=. 2.3 和谐统一性原则]6[和谐统一原则是指我们在解题时，应把待解决的问题根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等特征，使其和谐、匀称和恰当，在量形、关系方面进行统一，以达到数学的在美。
例3.已知c b a ,,均为实数，且1=++c b a ，证明31≤++ca bc ab . 分析：观察题目，不妨将1=++c b a 左右两边平方。
证明： ()12=++c b a 1222222=+++++ca bc ab c b aab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+两边相加得 ca bc ab c b a ++≥++222即 31≤++ca bc ab . 2.4 简单化原则简单化是我们把比较难的问题转化为简单的容易处理的问题，把原问题中比较庞大的数据采用某种转化，化成比较简单的，从而去解决复杂的原问题。
例4.比较20142015与20152014的大小.分析：观察发现，直接判断有点难度。
可以先从简单的入手：2212>，3223>，5445>，6556>，7667>…可以找到一个关系式：当n 时，就有()11+<+n n n n从而就可以比较2014=n 时，2015201420142015<.2.5 低层次原则低层次是在求解数学中的问题时，考虑高维与低维、高次与低次、多元与少元的转化，通常是由高到低、由大到小、由多到少。
2.6 正难则反原则正难则反原则即在数学问题的探索时，在正面分析遇到挫折时要思量从反面去尝试解决，当直接求解不了时要考虑从另一个方面去解决，在正向推导的过程中遇到挫折时可以进行反向推导，这就是所谓的正难则反。
3 化归的基本方法]4[化归的目的是复杂问题简单化、含糊问题明朗化、未知问题常识化。
于是映射法、参数法、转化法、分割法、消元法、变形法……均为化归常用的方法。
3.1 映射法映射指的就是徐利治教授等概括的“关系映射反演方法”，实际上，它就是化归原则的数学化与形式化。
其思维模式图如下图2图23.2 命题转化法例5.解不等式：2|222610|22<+--+-xxxx分析：我们通过“命题转化法”将不等式的未知量由一元转化成二元的特殊情况。
即有()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--+-=2|15|12222yxyxy()⎪⎩⎪⎨⎧<--=⇒133122yxy33233323+<<-⇒x3.3 分割法]13[在解决几何问题时通常采用分割法，在遇到一个复杂的图形时，把这个图形分割成一个或几个简单的图形，方便于我们求解和运用。
同样适用于其他数学问题，分析一个大问题时运用分割法转化成与原问题等价的几个小问题，进而使原问题的求解简便化，其模式如下图3图3例 6.在如图4的三棱锥ABCP-中，BCPA⊥且lBCPA==，PA，BC的公垂线段hED=，求证hlVABCP261=-.分析：如果直接求ABC P V -则不容易求出，注意到BC PA ⊥，BC ED ⊥则⊥BC 平面PAD ，⊥BC 平面PAD可用局部法，将原棱锥分割为PAD C PAD B --,，则PAD C PAD B ABC P V V V ---+=()h l CD BD lh 26161=+= 图43.4 消元法由于求解一元一次方程的问题十分容易，在求两元一次方程组（或n 元一次方程组）时，我们采取消元，这等价于把解两元（n 元）一次方程组的问题化归成求一元一次方程的问题。
例7.求解方程组⎩⎨⎧=-=+31824y x y x解：本题采取“消元”法，通过“加减”、“代入”来解方程组，即：①+②2* 得246=x 4=x ； 再把4=x 代入①化简可得1=y所以原方程组的解为⎩⎨⎧==14y x . 3.5 变形法]11[（1）恒等变形法恒等变形化归法是等价转化思想的体现，表现形式有很多种。
如多项式的恒等变形（即把一个多项式用一个与它恒等的多项式替换）、三角式的恒等变形（即把这个三角式用一个恒等与它的三角式代换）、分式的恒等变形、有理式的恒等变形等。
恒等变形的目的是把一个复杂的问题通过适当的变化，可以化未知为已知、化暗为明、化繁琐为简便。
例8.已知b =9log 18，518=a ，求45log 36.分析：此题采取对对数恒等式的化归，可以把未知的运算化成。
因为518=a ，所以a =5log 18所以 918log 59log 36log 45log 45log 21818181836⨯== ba b -+=-+=29log 18log 5log 9log 182181818 （2）放缩变形法在不等式的证明中，经常通过“舍掉一些正（负）项”而使得不等式的和变大或减小，或者在分式中把分子和分母通过扩大或减小。
这种化归方法是根据不等式的传递性()c a c b b a ≤⇒≤≤,,而研究的，是不等价转化思想的体现。
例9.求证ππ25532log 1log 119log 119log 219log 3+<++ . 分析：本题通过放缩变形法，使得不等式的值变大或缩小。
左边 5log 3log 22log 3191919++2361log 360log 1919=<=（放大）右边 2log 10log 2log 5log 2=>=+πππππ（缩小）所以 ππ25532log 1log 119log 119log 219log 3+<++ 4 用化归法解题的常用策略4.1 一般化与特殊化相互转化策略]14[一般化与特殊化是经常使用的解题策略，在求解数学问题时，正确运用二者之间彼此转化的技巧。
（1）特殊化]13[特殊化是在求解某个一般性的数学问题碰到挫折时，特殊的情形是我们解题的关键所在，进一步把求解特殊情形的思路借鉴和使用与一般问题中，从而使原问题得到解决。
（2）一般化一般化是特殊化的相反过程，把一般的题型分解成若干个简单的题型，或者把一般的题型转化成简单的题型，即要想求解问题A ，先求解一般的问题B ，通过两者间的联系使问题特殊化，进一步求得问题A 。
例10.计算 20162015201520132015220152323-+-⨯- . 分析：观察这道题目我们发现数字较大，运算繁琐。
通过转化使原题目一般化，减少其运算量，进而设2015=a ，则原式 ()()()()1122122222323+-+---=--++--=a a a a a a a a a a a a()()()()2016201312111222=+-=-+--=a a a a a a 4.2 数形结合策略]14[数形结合策略是分析问题的关键所在，也是求解问题重要的思路，把数转化成形，把形转化成数，使命题转换，解题方向、解题目标、解题方法都发生了变化，从而为解题带来了很大方便。
例11.R x ∈，求证1|11|22<+--++x x x x分析：观察不等式的左边就可以转化成平面上两个点之间的距离公式。
左边 |11|22+--++=x x x x|23212321|2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 可以转化为点()0,x P 到点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21B 的距离之差，因此问题可以转化为证明线段AB 外一点P 到两端点的距离之差的绝对值小于1。