关于用割圆术推导
圆周率的计算公式的方法
周家军
（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：************************）
摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。
1、绪言
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形
假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。
将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。
由此可见，此圆周是正多形的外切圆。
假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有：
OA=OB=R
正多边形的周长L 为： L=2*n*S
圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为：
n
n 180
2360=
=
α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为：
S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α）
)cos 1(*2*α-=R S
2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：
)
180
cos 1(*2*2)cos 1(*22222n
n R
nR R
nS R L -=-=
==
απ
2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。
圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。
因此，依题意有：
将n=
α
180
代入上式，可得：
α
αααπ)cos 1(*2*1802)
cos 1(*2**180
*2222-=
-=
==
R
R R
nS R L
3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：
在ΔAOD 中，依题意有： OA=R ∠AOD=2
α AD=2
S
根据三角函数，有如下的关系式：
AD=R*sin(2
α)
2S =R*sin(2
α) S=2*R*sin(2
α
)
正多边形的周长L 为： L=2*n*S =2*
α
180
* 2*R*sin(2
α)
3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：
α
α
ααπ2
sin *36022sin
**2*180*22=
=
=
R R R L 3.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 若要以线段（直径）n 为变量，将a =
n
180
代入上式，即可得 n
n n n
R
L 90
sin
**21802180sin *3602
sin *3602==
=
=
α
α
π
4、用内切圆分割正多边形
在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。
也可以以正多边形的内切圆来推导。
用n 根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。
如下图所示：
假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，垂足点为D 。
边长AB=S ，正多边形的周长为L ，圆心角为α。
依题意，有：
OD=R
α的大小和分割的线段（直径）n 有关联，n 越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。
它们的关系式如下：
n
n 180
2360=
=
α 在ΔOAD 中，根据三角函数关系，可列出如下关系式： AD=2
S ∠AOD=2
α
AD=OD*tg(2
α
)
2S = R* tg(2
α) S= 2*R* tg(2
α
)
正多边形的周长L 为： L=2*n*S
=2*
α
180
* 2*R* tg(2
α)
4.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：
α
α
ααπ2
*36022**2*180*22tg R tg
R R L =
=
=
4.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 将n
180
=
α代入上式，可得到以线段（直径）n 为变量的另一种形式的计算式子：
n
tg
n n n
tg tg
90
**21802180
*3602
*360==
=
α
α
π
5、圆周率的取值及祖冲之密率证明 将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：
)180
cos
1(*2*n
n -=π ○
1
n n 90
sin
**2=π ○2 n
tg n 90
**2=π ○
3
或：
α
απ)
cos 1(*2*180-=
○4
α
α
π2sin
*360=
○
5
α
α
π2*360tg
=
○
6
公式○1和○4、○2和○5、○3和○6是等价的，可以相互转换，转换因子为n
180
=
α。
（用公式计算圆周率时，理论分析上，n 只能取正整数，a 为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算出的圆周率值才能越准确。
）
以上是用直径分割圆周来推导圆周率计算公式，也可以用半径来分割圆周，推导出圆周率的计算式子。
在此就不一一叙述了，有兴趣的朋友可以做一做。
大概在2000年或2001年，我就推导出这些圆周率计算公式。
我曾经将公式给我的数学老师（梁春崇先生）看，他试图用洛必达法则来证明，因进入一个循环，未果。
历史上，祖冲之算出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。
他还得出圆的密率为
7
22
，这是可以证明的。
在以上有a 的式子里，将a=7代入公式，在内切圆中，Π≈7977.21≈7
22
,在外切圆中，Π
≈
7018.22≈722。
由此可知，祖冲之用了n=7
180
=25.7≈26，用了26根棍子（直径）去分割圆，才算出了圆周的这个密率。
如果将Π=3.1415926代入○1式，整理后，得： 2*n 2-2*n 2*cos
n
180
- 3.1415926*3.1415926=0 这个式子我不知道怎样解，如果哪位朋友如果知道解法，麻烦就请解一下，将n 值求出来，就可知道祖冲之当时用了多少根棍子去分割圆，才算出了这个圆周率。
不过，当我用数字代入n 值后计算时，我发现，只有当n=5000时，派=3.14159260，也就是说，用了5000根棍子（直径）去分割圆周。
6、圆周率的其他计算形式 当用n
k 360
*
1=α（k 为任意正数 ）代入上面的公式，可得到圆周率的另一种计算公式。
这个公式依然可以计算出圆周率的值。
比如说：当k=1时，n
n 360
360*11=
=α，代入上式： 代入○1式得
α
α
αα
π)
2cos 1(*2*360)360
180
cos
1(*2*360
)180
cos
1(*2*-=
-=-=n n 代入○2式得
α
α
α
α
π4
sin *72036090sin *360*290sin
**2=
==n
n
代入○5式得
n
n n n
180
sin
*3602360
sin *3602
sin
*360==
=
α
α
π （这就是用半径分割圆周推导的圆周率的计算公式）
用以上式子计算时，要记注n 和a 的取值范围，n →∞，而a →0，并且，n 要取整数，a 要取能被360整除的数，这样，计算出来的圆周率就越准确。
***完***。