x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
144 81
z
144
X=81+144
2 2
169
Y=169-144 Y=5
625
576
Z=625-576 Z=7
2
X=15
①
②
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
S3
S4
S2 S1 S5
S6
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
那么,在一般的直角三角形中,两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢?
A
Q
C
R
图2
P的面 积 (单 位长度 )
Q的面 积 (单 位长度 )
R的面 积 (单 位长度 )
9 9
16 4
25 13
B
图3
P
图2
A
R
P
图3
B
Q
C
P、Q、 R面积 关系
SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2
直角三 角形三 边关系
a2=c2
－ห้องสมุดไป่ตู้
b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
例1、在Rt△ABC中，已知∠B=90°， AB=6,BC=8，求AC.
解： 根据勾股定理，可得
AB2+BC2=AC2
所以
AC AB2 BC2 62 82 10
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°． （1） 已知a＝6， b＝10， 求c； （2） 已知a＝24， c＝25， 求b． 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
1602 1282
＝96（米）． 答： 从点A穿过湖到点B有96米．
练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边 形ＡＢＣD的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按 照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折 向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏， 问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?
勾股定理的无字证明
c b a
赵爽弦图
证明：s总=4s1+s2
a c
① ②
b
4*
1 ab 2
1 ab 2
2
b a
2
2
又s总=c2
故4 *
b a c
2 2
2
化简得， a b c
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．
大正方形的面积可以表示为
C2
勾股定理： 对于任意的直角三角形，
如果它的两条直角边分别为a、 b， 斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2。
b
c 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a
勾股定理揭示了直角三角
形三边之间的关系
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2
c a 2 b2
a c 2 b2
14.1 勾股定理
直角三角形三边的关系
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.
弦
勾
股
图1-1
活动一

A
观察左图： （1）正方形P的面积是 R （2）正方形Q的面积是 1 1 平方厘米。 平方厘米。
S7
例 如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角 形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B有多远? 解
如图，在直角三角形ＡＢＣ中，
AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
根据勾股定理可得 ＡＢ＝ ＝
AC 2 BC 2
P
C
Q B
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米。
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
上面三个正方形的 面积之间有什么关 系？
等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗？
AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两
直角边的平方和等于斜边的平方
(每一小方格表示1平方厘米)
Q
R
P
图1-3
R
Q P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
Q P
图3
R
R Q P
图4
1 7 4 3 4 2
2
S正方形R
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
做一做：
①在方格图中，画出两条直角边分别 为5cm、12cm的直角三角形， ②再用刻度尺量出斜边长， ③验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？
(a+b)2
。
对比两种表示方法，看看能不能
ab (a+b)2= 4 2 c2 = a2+ b2
C2
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。
1 1 S梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ ab 2 2 1 2 1 1 2 S梯形 = c +2 · ab = c +ab 2 2 2
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 2。 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm 49
C
D
B
A
7cm
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
40 A 90 B C
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
做一做：
A
625 P P的面积 =______________
225 25 AB=__________
BC=__________ AC=__________
C
400
B
20
15
6 2
4 2 X=______
x 62 22 32 4 2
。
1 2 4 ab （b - a） 又可以表示为 ． 2
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．
1 2 （b - a） C = 4 ab 2
2
a
2
b
2
c
2
用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图 形．
大正方形的面积可以表示为 ab 2 4 c ． 又可以表示为 2 得到勾股定理的结论．
作业：p117 1、2、3
40
160
小 结：
1、这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) 2、你是通过什么方法得出这一结论的? 通过数格子和割补法求面积 3、这节课体现了哪些数学思想方法? 数形相结合,从特殊到一般.