一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c3 a =b =c 时取等号）；6. 1n (a 1+a 2+……+a n )(a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c3 )3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n < b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0;应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

例：求函数224y x =+的值域。

24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t>⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；3．203x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6． 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。

同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y 2＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16t ＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简单3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。

∴111a b c a a a a -+-==≥。

同理11b -≥11c -≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a 21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R >Q四．不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。

2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

如（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（答：{|1x x ≥或2}x =-）；（2）不等式(0x -≥的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（答：(,1)[2,)-∞+∞）；（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：81[7,)8）4．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。