高考不等式经典例题【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小.【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )A.m ＜nB.m ＞nC.m ≥nD.m ≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(12)－2＝4.【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋83(4a －c )∈[－1,20].题型三 开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞db ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －adab ＞0.(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒bc －adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab ＞0，bc －adab ＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③；(3)由bc －ad ＞0，bc －adab ＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2m .所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}；(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2m －(－1)＝m ＋2m.①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2m }；②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1，不等式解集为{x |2m ＜x ＜－1}.【变式训练2】解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0. 【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1a 或x ＜－1}；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1a}.【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0， 解得x ＜13或x ＞1.(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21. (2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍.因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围为[34，72].【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A .x ＋y ≥2(2＋1)B .x ＋y ≤2(2＋1) C. x ＋y ≤2(2＋1)2 D. x ＋y ≥(2＋1)2 (2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b2，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(x ＋y 2)2，所以(x ＋y2)2≥1＋(x ＋y ). 解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1). (2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2aba ＋b .又a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 24≤2(a 2＋b 2)4，所以a 2＋b 22≥a ＋b2， 所以a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b. 【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c 恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.而(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c)≥4，所以λ＜4. 【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为 ；【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0. 所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立. 所以x ＝1时，y max ＝1.【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2cd 的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋y x ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当yx ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0，故(a ＋b )2cd的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).例 已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值。

解：222846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+= ⎪⎝⎭。

当且仅当2812x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min64xy =。

例 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值。

解：因为01x <<，所以10x ->。

所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。

当且仅当()411x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =。

例 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值。

解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。

()1491491491x y z x y z x y z x y z x y zλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλ≥=。

当且仅当149,,x y z x y z λλλ===同时成立时上述不等式取“=”，即x y z===，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故149x y z++的最小值为36。

例 若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 。

（变式：求2x +y 的最小值为______） 答案：18解：因为x >0，y >0 ，所以62262+≥++=xy y x xy，60xy -≥≥≤ 等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy 的最小值为18。

变式答案：12解：因为x >0，y >0 ，所以21226()22x y xyx y +=++≤整理得2(2)8(2)480x y x y +-+-≥，解得21224(x y x y +≥+≤-或舍）等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x +y 的最小值为12。

例 若对任意0x>，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 。

答案：15a ≥解：因为0x>，所以12x x+≥（当且仅当x=1时取等号），所以有 21111312353x x x x x=≤=+++++，即231x x x ++的最大值为15，故15a ≥。