∵点 P 在直线 AB 下方，∴0＜m＜6，
第 5 题解图① 如解图①，过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 E，交 x 轴于点 D，
1 则 E(m，2m－3)， ∴PE＝12m－3－(13m2－32m－3)＝－31m2＋2m，
1 ∴S△PAB＝S△BPE＋S△PEA＝2PE·OA ＝12(－13m2＋2m)×6 ＝－(m－3)2＋9， ∴当 m＝3 时，△PAB 的面积最大；
95 ∴当 m＝1 时，PD 有最大值 5 ；
5 32 ②存在，m＝2或 9 . 【解法提示】如解图，分别过点 D、B 作 DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为 点 F、G.
第 3 题解图
由图中几何关系可知
∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，
OE 1
5
∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝AE＝ 22＋12＝ 5 ，
在 Rt△PDF 中，DF＝cos∠FDP·PD＝ 55PD＝－15(m2－2m－8)．
又∵BG＝4－m，
∴
S△PCD S△PBC
DF －51（m2－2m－8） m＋2
＝BG＝
4－m
＝5.
当
S△PCD S△PBC
m＋2 9 ＝ 5 ＝10时，解得
5 m＝2；
当
S△PCD S△PBC
m＋2 10 ＝ 5 ＝ 9 时，解得
∵y＝ax2＋bx－3 经过 A、B 两点，
（－2）2·a－2b－3＝0
∴42·a＋4b－3＝3
，
a＝12 解得 b＝－12，
如解图，设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E(0，1)．
∵PC∥y 轴，∴∠ACP＝∠AEO.
OA 2 2 5 ∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝AE＝ 22＋12＝ 5 ；
∴
，
b＝－9
∴直线 BE 的解析式为 y＝－3x－9.
当 x＝－2 时， y＝－3，
∴M(－2，－3)；(7 分)
(3)设 P(x，0)(x＜0)，如解图②，过点 P 分别作 PF⊥DN 于点 F，PG⊥AC 于点 G，
过点 G 作 GH⊥OC 于点 H，交 DN 于点 Q，连接 GF，
第 4 题解图② ∵OA＝3，AB＝4，∠AOC＝90°，
∵DH⊥x 轴于点 H，
∴PG∥DH，
∴△AHE∽△AGP，
△BGP∽△BHF，
EH AH PG BG ∴PG＝AG，FH＝BH，
AH·PG
BH·PG
∴EH＝ AG ，FH＝ BG ，(10 分)
当点 G 在 BH 上时，
∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－21t2＋t＋4，
PG PG
(1)求二次函数表达式及顶点 D 的坐标；
(2)当 PM＝MN 时，求点 P 的坐标；
(3)设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，连接 AP 交对称轴于 E，连接 BP 并延 长交对称轴于 F，试证明 HE＋HF 的值为定值，并求出这个定值．
第 2 题图
解：(1)∵A(－2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将 A，B 点代入二次函 数表达式中，
解：(1)∵OA＝3，AB＝4, OA＝OE，∴A(0，3)，B(－4，3), E(－3，0)． 将 A，B，E 三点坐标代入 y＝ax2＋bx＋c 中，
c＝3
a＝1
得 16a－4b＋c＝3，解得 b＝4，
9a－3b＋c＝0
c＝3
∴抛物线的表达式为 y＝x2＋4x＋3；(3 分) (2)∵抛物线 y＝x2＋4x＋3 的对称轴为直线 x＝－2，点 A 关于对称轴的对称 点为点 B，
∴当|MA－ME|最大时，M 在直线 BE 与直线 x＝－2 的交点处，即连接 BE 并延长交直线 x＝－2 于点 M，M 点即为所求，如解图①，(5 分)
第 4 题解图①
设直线 BE 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
∵直线过 B(－4，3)，E(－3，0)，
－4k＋b＝3
∴
，
－3k＋b＝0
k＝－3
∵PM⊥x 轴， ∴△OAB∽△PAN，
OB PN 2 PN ∴OA＝PA，即 4＝4－m，
1 ∴PN＝2(4－m)， ∵M 在抛物线上， ∴PM＝－21m2＋23m＋2， ∵PN∶MN＝1∶3， ∴PN∶PM＝1∶4， ∴－21m2＋32m＋2＝4×21(4－m)， 解得 m＝3 或 m＝4(舍去)， 即 m 的值为 3；
32 m＝ 9 .
5 32 ∴m＝2或 9 .
4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，OA＝3，AB＝4， 在 OC 上取一点 E，使 OA＝OE，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过 A，E，B 三点．
(1)求 B，E 点的坐标及抛物线表达式；
(2)若 M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MA－ME|最大时，求 M 点的坐标；
4k＋c＝0
k＝－1
，解得
，
c＝4
c＝4
∴直线 BC 的解析式为 y＝－x＋4，(5 分)
∵点 P 在 x 轴上方的抛物线上，
∴设点 P 的坐标为(t，－12t2＋t＋4)(－2＜t＜4)，
∵PN⊥x 轴于 N，
∴点 N 的坐标为(t，0)，
∵PN 交 BC 于 M，
∴点 M 的坐标为(t，－t＋4)，(7 分)
(2)①由(1)知，抛物线的解析式为
y＝21x2－12x－3，
∴P(m，12m2－21m－3)，
1 C(m，2m＋1)，
∴PC＝21m＋1－(12m2－21m－3)＝－12m2＋m＋4.
在
Rt△PCD
中，PD＝PC·sin∠ACP＝(－12m2＋m＋4)×2
5
5 ＝－
55(m－1)2
95 ＋5.
5 ∵－ 5 <0，
39 ∴x＝－16，
39 ∴P1(－16，0)；(11 分)
(ⅱ)当 FG＝FP 时，FG2＝FP2， 9（x＋4）2 36（x＋4） 9 9
∴ 25 － 25 ＋4＝4，
∴x1＝－4，x2＝0.
∵点 P 不与 C 重合，
∴x＝－4(舍去)，∴P2(0，0)；
(12 分)
3（x＋4） 3 (ⅲ)当 PG＝PF 时， 5 ＝2，
二次函数压轴题
1. 如图①，抛物线 y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 P(m，0)(0<m<4)．过点 P 作 x 轴的垂线交 直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M. (1)求 a 的值； (2)若 PN∶MN＝1∶3，求 m 的值； (3)如图②，在(2)的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1绕点 O
∴当 A、P2、Q 三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值， 9
又∵A(4，0)，Q(0，2)，
∴AQ＝
42＋（92）2＝
145 2，
3
145
即 AP2＋2BP2的最小值为 2 .
2. 如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋4 的图象与 x 轴交于
A(－2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，点 P 是 x 轴上方抛物线上的一个动点，过 P 作 PN⊥x 轴于 N，交直线 BC 于 M.
3 逆时针旋转得到 OP2，旋转角为 α(0°<α<90°)，连接 AP2、BP2，求 AP2＋2BP2 的最小值．
图①图② 第 1 题图 解：(1)∵A(4，0)在抛物线上，
1 ∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得 a＝－2； (2)由(1)可知抛物线解析式为 y＝－12x2＋23x＋2，令 x＝0 可得 y＝2， ∴OB＝2， ∵OP＝m， ∴AP＝4－m，
∴AC＝5，
பைடு நூலகம்∵D 为 OA 的中点，DN⊥BC，
3
PG OA
∴PF＝2，sin∠1＝PC＝AC，
PG 3 ∴x＋4＝5，
3（x＋4） ∴PG＝ 5 ，
CG OC ∵cos∠1＝PC＝AC，
CG 4 ∴x＋4＝5，
4（x＋4） ∴CG＝ 5 .
∵△CGH∽△CAO，
GH CG CH ∴AO＝CA＝CO，
交
于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛
物线上一动点(不与点 A、B 重合)，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，
作 PD⊥AB 于点 D.
(1)求 a、b 及 sin∠ACP 的值；
(2)设点 P 的横坐标为 m.
①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；
1
4－t＋t＋2
∴EH＋FH＝3(t＋2＋4－t)＝3·(－2)(t＋2)(t－4)·（t＋2）（4－t）＝9，
同理，当点 G 在 AH 上，由抛物线对称性可知，结果相同．
综上可知，HE＋HF 的结果为定值，且这个定值为 9.(14 分)
3.
如图，在平面直角坐标系中，直线
1 y＝2x＋1
与抛物线
y＝ax2＋bx－3
(3)若点 D 为 OA 中点，过 D 作 DN⊥BC 于点 N，连接 AC，若点 P 为线段 OC 上一动点且不与 C 重合，PF⊥DN 于 F，PG⊥AC 于 G，连接 GF，是 否存在点 P，使△PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 P 点 坐标；若不存在，请说明理由．
第 4 题图
OQ 3 (3)如解图，在 y 轴上取一点 Q，使 OP2＝2，
第 1 题解图 由(2)可知 P1(3，0)，且 OB＝2， ∴OOPB2＝23，且∠P2OB＝∠QOP2，
∴△P2OB∽△QOP2，
∴QBPP22＝OOPB2＝32，
9