指数函数1．指数函数の定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且の图象和性质。
a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-，且(0)3f=，则()xf b与()x f c の大小关系是_____．分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x の取值围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数の值域是[)01，．评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a の值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13．评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程の解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象，可以把函数3x y =の图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象の平移规律进解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+の图象，故选（C ）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若 ，且 ，比较a 与b ． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线 分别是指数函数 , 和 の图象,则 与1の大小关系是 ( ). (分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识.3，求下列函数の定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x の定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x の值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1の定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1の值域为｛y ｜y>1｝.4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x の最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设 ，求函数 の最大值和最小值．分析：注意到 ，设 ，则原来の函数成为 ，利用闭区间上二次函数の值域の求法，可求得函数の最值． 解：设 ，由 知，，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数の最大值为 ．6．（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上の最大值是14，求a の值.．解： )1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t .当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a =3 (a = －5舍去)7．已知函数 （ 且 ）（1）求 の最小值； （2）若 ，求 の取值围．．解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为 （2） ，解得 当 时， ； 当 时， ．8（10分）（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m の值； （2）画出函数|13|-=x y の图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y の图象无交点,即方程无解;当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=xy の图象有唯一の交点，所以方程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y の图象有两个不同交点，所以方程有两解。
9．若函数 是奇函数，求 の值． ．解： 为奇函数， ， 即 ， 则 ，10. 已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2の最大值和最小值 解：由已知得（3x ）2-10·3x +9≤0 得（3x -9）（3x -1）≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2而y=(41)x-1-4·(21)x +2= 4·（21）2x -4·（21）x+2令t=（21）x （141≤≤t ）则y=f （t ）=4t 2-4t+2=4（t-21）2+1当t=21即x=1时，y min =1当t=1即x=0时，y max =2 11．已知 ，求函数 の值域．解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数の值域为12. (9分)求函数2222++-=x x y の定义域，值域和单调区间定义域为R 值域（0，8〕。
（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。
13 求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x の单调区间.分析 这是复合函数求单调区间の问题可设y ＝u ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31为减函数∴u ＝x 2-3x+2の减区间就是原函数の增区间(即减减→增)u ＝x 2-3x+2の增区间就是原函数の减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减，当x ∈(-∞，23)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［23，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.14 ，已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)の定义域和值域；(2)讨论f(x)の奇偶性；(3)讨论f(x)の单调性.解：(1)易得f(x)の定义域为｛x ｜x ∈R ｝.设y ＝11+-x x a a ,解得a x ＝-11-+y y ①∵a x >0当且仅当-11-+y y >0时，方程①有解.解-11-+y y >0得-1<y<1. ∴f(x)の值域为｛y ｜-1＜y ＜1}.(2)∵f(-x)＝11+---x x a a ＝xxa a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数. (3)f(x)＝12)1(+-+x x a a ＝1-12+x a .1°当a>1时，∵a x +1为增函数，且a x +1>0.∴12+x a 为减函数，从而f(x)＝1-12+x a ＝11+-x x a a 为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝11+-x x a a 为减函数.15、已知函数f （x ）=a －122+x （a ∈R ）， （1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2） 若f （x ）为奇函数时，求a の值。