（本小题5分）t2设x e2^st确定了函数y y （x ）,求dy. y e si ntdx（本小题5分）求 x.、1 xdx .（本小题5分）（本小题5分）sin x ,2dx.sin x(本小题5分) 设 x(t) e kt (3cos t4sin t),求 dx .（本小题5分）设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6所确定，求史. dx（本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值(本小题5分)求极限 H m (X1)2 (2x 1)2 (3x 1)2吃」x(10x 1)(11x 1)(本小题5分)第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分）（本小题5分） 求极限 lim x 2 （本小题5分）(1 （本小题5分） 3 X 312x 16 2x 3 9x 2 12x dx.求极限 limarctan x x （本小题5分）arcsin 丄 求一^dx.1 x (本小题5分) 求—x ,1 t2 dt . dx 0 (本小题5分) 求 cot 6 x csc 4 xd x.（本小题5分） 1 2x cos dx.1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、10、 11、12、13、14、 15、16、求函数 y 4 2xx 2的单调区间Y求cos空 dx. 1 sin xcosx二、 解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分）1、 （本小题7分） 某农场需建一个面积为 另三边需砌新石条围沿2、 （本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、 解答下列各题 （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根.512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 3—所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积. 8一学期期末高数考试（答案） 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） 解:原式 lim 23x 12- x 26x 18x 126x lim x 212x 18 2 2、(本小题3分)x 2 2 d xx ) d(1 x 2) "~L 2\ 2(1 x ) 1 c.(1 丄 2 2 1 x 3、（本小题3分） 因为 arctanx 故 limarctan x x 4、(本小题3分) x .dx 1 x1x1, dx 1 x , dx dx 1 xx In 1 x5、 (本小题3分) 1 而 limarcsin o 2 x x arcsin - o x C.求 2 " 1 t 2 dt . dx 0原式2x 1 x 4 6、(本小题4分)cot 6 x csc 4cot 6 x(11 .7 cot x77、(本小题4分)2 cot x)d(cotx)1.9 cot x c. 99、 （本小题求 x 1 xdx. 0令—x u2 .原式 2 1（U 4u 5 2（y1161510、 （本小题5分）求函数 y 解：函数定义域（求2 1 1门 求pcos dx.x x21 11 cos —d(—) - x x2 原式.1 sin — x1 & (本小题4分) x e t cost2 设 2t y e 确定了函数y sin t y(x),求孚• dx 解: dydx e 2t (2sin t ~t 2 2e (cost 2tsin t ) e t (2 sint cost) 2 2~(cost 2t sin t )cost) y 当x当x 当x1, 1, 2x 2（1 y 0 y0函数单调增区间为,1y 0函数的单调减区间为1,x)1, 11、(本小题5分) 7 sin x , 求 2 2—dx. 0 8 sin 2 xxd xu 2)duu 3 5)2x x 2的单调区间22 d cosx0 2~9 cos x1 3 cosxIn ----------- 6 3 cosx 1 -I n2 612、(本小题6分)设 x(t)kt(4 3k)cos t (4k 3 )sin t dt13、(本小题6分)2yy 空 6x 5y 3yx 5 yy 2 114、（本小题6分）求函数y 2e x e x 的极值10 11 216 10 11 7x 2 x1、y 2e (e )21 1 驻点：x — l n —2 2 由于 y2e x e x 0故函数有极小值,,y (■— In -2) 2 215、(本小题8分)(x 1)2(2x 1)2 (3x 1)2(10x 1)(11x 1)1 2 1 2 1 2(1 -)2(2 -)2 (3 -)2 XXX 丄) x 求极限 原式 limx lim x (10 1 —)(11 x (10x 1)2(10 丁16、（本小题 10分) cos2x 1 sinxcosx dx cos2x 1丄sJ 2 原式e kt (3cos t 4sin t),求dx .解: dx x (t)dt设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6所确定，求鱼.dx解.定义域（，）,且连续d(-1s in 2x 1) 1 丄 si n2x21In 1 -si n2x c2二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•设晒谷场宽为x,则长为512米,新砌石条围沿的总长为x故晒谷场宽为16米，长为51232米时，可使新砌石条围沿161 5 -x 5/4/14 (T 三、解答下列各题 (本大题10分)设f (x)x(x 证明:f (x)在( 又 f (0) f (1) f (2) f (3)0 则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得，至少存在1(0,1), 2(1,2), 3(2,3)使f (1) f ( 2) f ( 3)即f (x)0至少有三个实根，又f (x) 0,是三次方程，它至多有三个实根，由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案c 512 2xx 512 2 亍x 1024 小 3 0 x(x 0) 唯一驻点x 16即x 16为极小值点所用材料最省2、(本小题8分)2—和求由曲线y3—所围成的平面图形绕ox 轴旋转所得的旋转体的 8 体积.3—,8x 2 82(勺222x 3X 1 0, x 1 4.3(|)2 dx"(― 0 4664)dx1 1 7x64 71、 5127)石3),证明 f (x))连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.0有且仅有三个实根•1)(x 2)(x填空题（每小题 3分，本题共15分）21、lim(1 3x)^ _____4、曲线y e x x 在点（0, 1 ）处的切线方程是y=X+15、若 f (x)dx sin2x C ， C 为常数，则 f(x) _____________C0S2 _。
单项选择题（每小题 3分，本题共15分）x1、 若函数 f （x ） ，则 lim f （x ）（ D ）x x o ' 丿A 、0B 、1C 、1D 、不存在2、 下列变量中，是无穷小量的为（ B ）1X 2 A. In (x 0 ) B. ln x(x 1) C. cosx (x 0) D.(x 2)xx43、满足方程f (x) 0的x 是函数y f (x)的(C ).A .极大值点B. 极小值点C .驻点D •间断点4、下列无穷积分收敛的是（B )2x .11A 、sin xdxB 、e dxC 、dxD 、dx0 x.x5、设空间三点的坐标分别为M (1,1,1 )、A (2, 2, 1 )、B (2, 1 , 2)。
则AMB =AA 、B 、c 、— D 、342三、计算题（每小题7分，本题共56 分）4 x 2 1、求极限 limxsin 2x2、当 k=1 _____ 时，f (x)xe 2x0处连续.3、设yIn x ,则dxdy__ x/x+1若f (x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0) f(1)0, f (-)1，证明:2参考答案二.单项选择题(每小题 3分，本题共15分) 1、D 2、B 3、C 4、B5、A三•计算题(本题共 56分，每小题7 分)求极限求极限cosxe t dtlim —―2—— x 0 x 24、ln(x 1 x 2)，求 y2“、 x ln(1 t ) y(x)由已知y arcta nt，求与dx 2求不定积分gsinC 2 3)dx x x7、 求不定积分e x cosxdx 8、 设 f(x)1x1 e1 1 x2f(x 1)dx四、应用题 (本题 7分)求曲线 y x 2与 xy 2所围成图形的面积 A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
五、证明题 (本题7 分)在(0,1)内至少有一点，使f()1。
填空题(每小题 3分，本题共 15分) 1、e 6x2、k =1 .3、-1 x4、 y 15、f (x) 2cos2x11.解: lim 4 x 2x 0sin2x limx 0sin2x(, 4x 2)2xsin2x(、4 x 2)2.解 : lim ("x 1)lim x x e 0 x(e x 1) lim x 0 xe n xe x1lim =x 0 e x1x x e xe 2cosx3、解: lim 0 e 1 2 x"dt sin xe lim x 0 cos 2 x4、解: (15、解:2x 1 2e 1Tx 2)1"^x 2dydx 1rr2t1 2td 2y dx 2d _ dt(dy)11 dx dtt 26、解:7、解:&解:2f(X3)dxsin (2 3)d(- 3)x 3x 3)e x cos xdxcosxde xcosxe x sinxdxxe cosxsin xde xcosx xe sin xe x cos xdxe x (sin x cosx) C11)dx 1 f (x)dx1f(x)dx 1o f(x)dx …dxxe11 1 dx 01 :0 1(1ln(1 x)1 ln(1 e x )In 21 ln(1 e 2) ln(1 e)7分)2y 的交点为(1, 1),A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:iV ( .y)3 y 4 dy五、证明题(本题 7分) 证明：设 F (x) f (x) x ,1 1显然F(x)在〔2,1］上连续，在(？,1)内可导，1 12由零点定理知存在 X 1［,1］，使F (%).(0,xj (0,1)，使 F ( ) f ( ) 1 0,即 f ( ) 1于是曲线yx 2与x2y 所围成图形的面积 A 为dx2X1O2X1 - 四. 应用题(本题 解：曲线y x2 *与x且F(m - 0，F(1) 1 0.由F(0) 0,在［0,x1】上应用罗尔定理知，至少存在一点1。