（Ⅱ）依题意，所有取值为．
，
，
．
的分布列为
．………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明因为
所以，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以．
（Ⅱ）因为△是等边三角形，
，，
不防设，则，
又因为，分别为，的中点，
由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．
则有，，，，，．
所以，．
2018年高三数学二模理科试卷（东城区附答案）
5 c北京市东城区2018学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B（2）c（3）A（4）D
（5）D（6）B（7）D（8）c
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）（11）
则存在无数个正整数，使得对任意的，有．
设为其中最小的正整数．
若为奇数，设（），
则．
与已知矛盾．
若为偶数，设（），
则，
而
从而．
而，与为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数，使得对任意的，有．
（Ⅲ）若为有理数，即为无限循环小数，
则存在正整数，，对任意的，且，有．
与（Ⅱ）同理，设为其中最小的正整数．
若为奇数，设（），
+
令，则．
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在处取得极大值即最大值，最大值为．
所以当，即时，的图象与轴恰有两个交点，
方程有两个实根，
当时，的图象与轴恰有一个交点，
方程有一个实根，
当时，的图象与轴无交点，
方程无实根．……14分
（19）（共13分）
解(Ⅰ)因为，，
所以．
因为原点到直线的距离，
（12）（13）（14）①③
注两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解（Ⅰ）因为
．
所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，
所以．
所以的取值范围是．………………………………13分
（16）（共13分）
解（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以．
则．
当时，有．
与已知矛盾．
若为偶数，设（），
当时，有，
而
从而．
而，与为其中最小的正整数矛盾．
故不是有理数．……………………………………………………13分
5 c
设平面的法向量为．
则
即
令，则．
所以．
又平面的一个法向量为．
所以．
所以二面角的余弦值为．………………………………14分
（18）（共14分）
解(Ⅰ)，定义域为，
则．
因为，由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
(Ⅱ)由题意，以为切点的最小值为．
(Ⅲ)由题意，方程化简得
解得，．
故所求椭圆的方程为．
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为，
所以
解得，．
所以．
因为点在椭圆上，
所以．
因为，所以．
所以的取值范围为．
(Ⅲ)由题意
消去，整理得
．
可知．
设，，的中点是，
则，．
所以．
所以．
即．
又因为，
所以．所以．………………………………13分
（20）（共13分）
解（Ⅰ）；
．
（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有．