2020年全国统一高考数学试卷（上海秋季卷）一、填空题：本题共15小题，1-6题4分，7-12题5分，共54分。
1．已知集合={124}A ，，，={234}B ，，，求=AB ．【答案】：{24}，【解析】： A 与B 取交集，共有元素为2和4. 2．计算：1lim31n n n →∞+=- ．【答案】：13【解析】： 11111lim lim lim 1131333()33n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===---.3．已知复数12i z =-（i 为虚数单位），则z = ．【答案】【解析】：z ==4．已知行列式126300a cdb =，则行列式a cd b= ． 【答案】：2【解析】：因为 126300a c db =.所以11300622a c c a d bbd⋅-⋅+=.故2a cd b=.5．已知()3f x x =，则()1f x -= ．【答案】：13x()x ∈R【解析】： 考察反函数知识点，由3x y = 可得13y x =，注意x ∈R .6．已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab = ．【答案】：36【解析】：由平均数为4，可得13a b +=，由中位数为3，可知a 和b 中有一个是4，另一个是9.7．已知20230x y y x y +⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤，则2z y x =-的最大值为 ．【答案】：1-【解析】：画出可行域，，由图可知，带入点()11，，即得z 得最大值为-18．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，求12910+a a a a ++= .【答案】：278【解析】：在等差数列中由1109a a a +=，得1a d =-，所以： 1291101+93627+98a a a a d a a d +++==.9．从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法 . 【答案】：180【解析】：112654C C C 180=.10．已知椭圆：22143y x +=，第二象限有一点P ，点P 与右焦点F 所在直线与椭圆交于一点Q ，1PF FQ ⊥，且Q 点与1Q 点关于x 轴对称，求PQ 的直线方程 . 【答案】：1y x =-【解析】：1PF FQ ⊥，且Q 点与1Q 点关于x 轴对称，知PF 斜率为1-，所以PF 方程为 1y x =-.11．设a ∈R ，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x ∈R ，0()f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则a 的取值范围为 【答案】：0a ≠且1a ≠【解析】：题目转换为是否存在实数a ，使得存在函数()f x 满足“对于任意0x ∈R ，0()f x的值为20x 或0x ”，又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”构造函数：2,(),x x a f x x x a ≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =，只有0,1两个实数解.12．设k ∈*N ，已知平面向量1212,,,,k a a b b b 两两不相同，12||1a a -=，且对于任意的1,2i =，及1,2,,j k =,}{1,2i j a b -∈,求k 的最大值【答案】：6【解析】：设1122,OA a OA a ==，这12||1A A =，因为}{1,2i j a b -∈，所以对于任意的1,2,,j k =有}{11,2j a b -∈，}{21,2j a b -∈做j j OB b =，则我们有1j A B 等于1或者2，且2j A B 等于1或者2，所以点,(1,2,,)j B j k =在以i A ，()1,2i =为圆心半径为1或者2的圆上，如图所示，总共有6个点满足条件.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．下列不等式恒成立的是A ．222a b ab +≤ B. 222a b ab +-≥C ．2a b ab +-≥D ．2a b ab +≤【答案】：B【解析】：B 选项，整理得2()0a b +≥，显然成立；其他选项，取特殊值验证即可判断. 对于A ：取1,1-==b a ； 对于C ：取1,0-==b a ； 对于D ：1,0==b a .14．已知直线l 的解析式为0143=+-y x ，则下列各式是l 的参数方程的是A ．⎩⎨⎧-=+=ty tx 4334B ．⎩⎨⎧+=+=ty tx 4334C ．⎩⎨⎧+=-=t y tx 3141D ．⎩⎨⎧+=+=t y tx 3141【答案】：D【解析】：在直线l 中，令4=x ，则413=y ，即直线过点134,4⎛⎫⎪⎝⎭，排除A,B 选项；令1=x ，则1=y ，且直线斜率43=k ，D 选项中，()3114y x -=-，符合题意.15．在棱长为10的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为左侧面11A ADD 上一点，已知点P 到11D A 的距离为3，点P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与C A 1平行的直线交正方体于Q P ,两点，则Q 点所在的平面是A ．B B AA 11 B ．C C BB 11C ．D D CC 11 D ．ABCD【答案】：D【解析】：延长BC 至点M ，且2=CM ， 延长C C 1至点N ，且3=CN ，作矩形CMHN 如图，连接HC PH P A ,,1, 则四边形PHC A 1为平行四边形； 因为点P 在平面11A ADD 内， 点H 在平面C C BB 11内，且点P 在平面ABCD 上方，点H 在平面ABCD 下方，所以PH 与平面ABCD 必定相交，即点Q 在平面ABCD 内.16．命题p ：存在0≠a ，对任意的x ∈R ，使得)()()(a f x f a x f +<+；命题1q ：)(x f 单调递减且恒大于0，命题2q ：)(x f 单调递增且存在00<x 使0)(0=x f . 则A ．只有1q 是p 的充分条件B ．只有2q 是p 的充分条件C ．21,q q 都是p 的充分条件D ．21,q q 都不是p 的充分条件【答案】：C【解析】：对于1q ：取0>a ，因为)(x f 恒大于0，故0)(>a f ；又因为)(x f 单调递减，所以)()()()(a f x f x f a x f +<<+. 所以1q 是p 的充分条件. 对于2q ：取00<=x a ，则0)(=a f ；因为)(x f 单调递增，所以)()()()(a f x f x f a x f +=<+. 所以2q 是p 的充分条件.三、解答题：共76分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题共14分，第1小题7分，第2小题7分）已知ABCD 是边长为1的正方形，绕其中一条轴AB 旋转而成的一个圆柱. （1）求该圆柱的表面积；（2）将DC 旋转90︒至11C D ，求直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角．【答案】：（1）4π；（2）2arctan【解析】：（1）由题意知：此圆柱底面半径为1，高为1，记侧面积为S 侧，底面积为S 底，则：2π112π=⋅⋅=侧S ，22π12πS =⋅⋅=底，∴该圆柱的表面积为2π2π4π+=． （2）连结1CC ，因为1BC BC ⊥，1BC AB ⊥，BCAB B =，所以1BC ⊥平面ABCD ．∴BD 为直线1C D 在平面ABCD 直线上的射影，设1C D 与平面ABCD 所成的夹角为θ，则12tan 2BC BD θ===,因此直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角为2arctan ． 18．（本题共14分，第1小题7分，第2小题7分）已知()sin f x x ω=，ω＞0 （1）4πT =，求ω及()12f x =时的解集；（2）1ω=，()()()2π2g x f x x f x ⎛⎫=--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，求π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的()g x 的值域. 【答案】：（1）()π5π4π4π33x x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫∈=+=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ；（2）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】：（1）由题意可得2π4πT ω==，所以12ω=； 所以此时由()1sin22x f x ==，可得π2π26x k =+或者5π2π26x k =+，其中k ∈Z 最终解得()π5π4π4π33x x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫∈=+=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ；（2）由题意可得，此时()sin f x x =，所以()()()2πsin sin 2g x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，经化简可得()1cos 2π1sin 2262x g x x -⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭， 所以当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即()g x 在π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递减函数， 在ππ,64x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递增函数，所以()()max 00g x g ==，()min π162g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以()g x 的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．（本题共14分，第1小题7分，第2小题7分）已知道路密度：x =车流量/时间，道路车辆密度：q =车流量/路程，车速：/v q x =.(]0,80x ∈,且()()[]801100135 ,0,4034085 ,40,80xx v k x x ⎧⎛⎫⎪-∈ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+∈⎩，0k > （1）若95v >，求x 的范围；（2）已知80x =，50v =，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）800,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）288007【解析】（1）()0,40x ∈时，801100135953x⎛⎫-⋅> ⎪⎝⎭，解得800,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当()40,80x ∈，由于0k >，0k -<，一次函数单调递减，当40k =时，取得最大值为85，所以当95v >时无解。
综上所述：800,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(2) 因为80x =时，50v =代入第二个式子，求得78k =. 因为q vx =，分情况讨论，当()0,40x ∈时，所以 8011001351353xq x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.因为80113503xx ⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭，所以4000q <.当[]40,80x ∈时，所以271208q x x =-+，配方得：2277480288001208877q x x x ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭. 所以，当4807x =时，q 有最大值为288007， 又因为2880040007>，故q 的最大值为288007. 20．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知双曲线1:Γ22214x y b -=，圆2:Γ2224x y b +=+()0b >，在第一象限的交点为A ，曲线Γ为2222221 44 A A x y x x b x y b x x⎧-=>⎪⎨⎪+=+>⎩，（1）若A x =b ；（2）b =2Γ与x 轴的交点为1F ，2F ，P 在第一象限的曲线上，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于M ，N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围.【答案】（1）2 （2）11arccos 16（3）()625,++∞ 【解析】（1）由2222221 44x y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得2222414x b x b +--=，将6A x =带入，可得2b =. （2）由题意可知2222 1 459 x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，易知P 点在第一象限的双曲线上. 所以18PF =，24PF =，126F F =，由余弦定理可得：2221284611cos 28416F PF +-∠==⨯⨯，所以1211arccos 16F PF ∠=.（3）设直线:l 2422b b y x +=-+，可算得O 到直线l 的距离为222224424414b b d b b b ++==+++所以直线l是圆的切线，切点为M.所以2 OMkb=，并设:OMl2y xb=，与圆2224x y b+=+联立可得222244x x bb+=+. 所以得x b=，2y=.由图可知，只有在如图状态下，直线才会与图像有两个交点.有图可知圆与双曲线的交点A恒在M的上方。