几何-空间几何-正四面体专题一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为_________．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为_________．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为_________．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为_________．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为_________．12．（2006•浙江）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是_________．13．已知正四面体ABCD的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为_________．14．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．15．正四面体的棱长为a，它的体积为_________．16．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为_________．17．已知球O是棱长为12的正四面体S﹣ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF 截球O所得截面的面积是_________．18．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．19．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC重心，则=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=_________．20．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值_________．几何-空间几何-正四面体专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知棱长为a的正四面体ABCD内切球O，经过该棱锥A﹣BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．解答：解：记棱锥A﹣BCD的高为AO1，且AO1=a．O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面α交于M，则MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=．故答案为：．故选C．点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（）A．4πB．2πC．D．考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积．解答：解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为1∴正方体的棱长为∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为∴球O的表面积为故选C点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．3．已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（）A．B．C．2πD．考点：球的体积和表面积；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，再由公式求体积解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为=3，故底面中心到底面顶点的距离都是2由此知顶点到底面的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==球O的表面积等于4×π×=2π故选C点评：本题考查球的体积和表面积，解答本题关键是理解球O是该正四面体的最大球，从中得出此时球是正四面体的内切球，从而联想到用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．4．半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A．B．C．D．考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：由已知可得，半径为1的球为正四面体A﹣BCD的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长．解答：解：∵正四面体是球的内接正四面体，又∵球的半径R=1∴正四面体棱长l与外接球半径R的关系l=得l=故选D点评：注意牢记：边长为1的正三角形，高为，内切圆的半径为，外接圆半径为；棱长为1的正四面体，侧高为，侧面内切圆的半径为，侧面外接圆半径为；高为，内切球半径为，外接球半径为5．正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长和底面边长都等于a，有两个正四面体的棱长也都等于a．当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）A．五面体B．七面体C．九面体D．十一面体考点：棱锥的结构特征。
专题：探究型。
分析：由正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），可知得到的新多面体为五面体．解答：解：正四面体每相邻二个面所成的二面角为arccos，题目所说的正四棱锥的相邻二个侧面所成的二面角为arccos（﹣），所以得到的新多面体为五面体．故选A．点评：本题考查棱锥的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答．6．（2006•江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A﹣BEFD与三棱锥A﹣EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定考点：球内接多面体。
专题：计算题；综合题。
分析：比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较．解答：解：连OA、OB、OC、OD，则V A﹣BEFD =V O﹣ABD+V O﹣ABE+V O﹣BEFD+V O﹣AFDV A﹣EFC =V O﹣AFC+V O﹣AEC+V O﹣EFC又V A﹣BEFD=V A﹣EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面AEF公共，故S ABD+S ABE+S BEFD+S ADF=S ADC+S AEC+S EFC故选C点评：本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题．二．填空题（共14小题）7．已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A﹣BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为．考点：点、线、面间的距离计算。
专题：计算题。
分析：先利用棱长为a的正四面体ABCD的高的公式：h=a，再利用内切球O的半径即为高的，最后利用O 到平面α的距离正好是高的，从而得到结果．解答：解：记棱锥A﹣BCD的高为AO1，且AO1=a．O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面α交于M，则MO1=AO1，故MO=OO1=AO1=．故答案为：．点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、组合体的几何性质、中截面等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8．在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为．考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积．解答：解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：a；所以OE为内切球的半径，BF=AF=BE=，所以AE=，BO2﹣OE2=BE2，所以OE=球的表面积为：4π•OE2=故答案为：点评：本题考查正四面体的内切球的表面积，是一道典型题目，考试常考题，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9．已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为．考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表面积．解答：解：正四面体的棱长为：a，底面三角形的高：a，棱锥的高为：=，设外接球半径为R，R2=（a﹣R）2+解得R=a，所以外接球的表面积为：4πa2=a2；故答案为a2．点评：本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10．正四面体ABCD的棱长为1，则其外接球球面上A、B两点间的球面距离为（π﹣arcos）（或arcos （﹣））．考点：球面距离及相关计算；球内接多面体。