空间向量与立体几何专题利用空间向量解决立体几何中位置关系平行，垂直，角度问题，距离问题（体积），探索性问题等。

1.正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//AD CD AB CD AB ⊥=,2,4AD CD ==，点M 是EC 中点.（I ）求证：BM ∥平面ADEF ； （II ）求BM 与平面BDE 所成角的正弦值.答案及解析：1.（1）设N 为DE 的中点，因为M 是EC 的中点，,21,//DC MN DC MN =∴ ,21,//CD AB CD AB =因此MN AB //，所以四边形ABMN 是平行四边形，------4分 ,//AN BM ∴因为，平面ADEF BM ⊄，平面ADEF AN ⊂.//ADEF BM 平面∴--6分 （2）因为点M 是EC 中点，所以221==∆∆CDE DEM S S .， -------7分 正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，BC ED AD ED ABCD ED ⊥⊥⇒⊥,平面因为,,DE AD CD AD ⊥⊥，且DE 与CD 相交于D CDE AD 平面⊥∴,,//,//CDE AB CD AB 平面∴ B 到面DEM 的距离2=AD ---------8分. 又CBE ED BC BD BC CD BD BC ∆⇒⊥⊥⇒===,4,22是直角三角形，则32=∆DEB S ---9分设M 到面DEM 的距离h ，23131=⇔⋅=⋅⋅⇔=∆∆--h h S AD S V V DEB DEM DEM B DEB M 由.-----10分 524212122=+==∴EC BM ，---11分 所以BDE BM 与平面所成角θ的正弦值为51052sin ===BM h θ----12分 2.如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为2,底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ,01160,AA B P ∠=为CC 1的中点,11AB A B O =.(1)证明：AB 1⊥平面A 1OP .(2)若M 是棱AC 上一点,且满足045MOP ∠=,求二面角1M BB A --的余弦值.答案及解析：2.解：(1)取的中点 ，连接，易证为平行四边形，从而.由底面侧面 ，底面 侧面 ， ，底面，所以侧面 ，即侧面，又侧面 ，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为 平面，所以 .(2)由(1)知，，，，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面 是边长为2的菱形，且，所以，，，，，，得 .设，得，所以 ，所以.而.所以 ，解得.所以 ， ， .设平面的法向量，由得，取 .而侧面 的一个法向量.设二面角 的大小为 .则3.如图，在Rt △ABC 中，3==BC AB ，点E 、F 分别在线段AB 和AC 上，且BC EF //，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角B EF P --的大小为60°. （Ⅰ）求证：PB EF ⊥；（Ⅱ）当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值.答案及解析：3.证明：（Ⅰ）∴==,3BC AB BC EF AB BC //, ⊥AB EF ⊥∴,翻折后垂直关系没变，仍有BE EF AE EF ⊥⊥,PBE EF 面⊥∴PB EF ⊥∴（Ⅱ）BE EF AE EF ⊥⊥, PEB ∠∴是二面角P-EF-B 的平面角，︒=∠∴60PEB ，又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=3, EB BC PB EB PB PE EB PB ,,,,222∴⊥∴=+∴两两垂直.以B 为原点，BC 所在直线为X 轴，BE 所在直线为Y 轴，建立如图直角坐标系. 则P(0,0,3),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0).)3,1,2(),3,1,0(-=-=设平面PEF 的法向量),,,(z y x =由,0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅可得),1,3,0(=41sin ),3,0,3(==∴-=PC θ. 故PC 与平面PEF 所成的角的正弦值为14.4.如图，在圆锥PO 中，已知2=PO ，⊙O 的直径AB =2，点C 在底面圆周上，且30=∠CAB ，D 为AC 的中点．（Ⅰ）证明：OD ∥平面PBC ； （Ⅱ）证明：平面PAC ⊥平面POD ； （Ⅲ）求二面角A -PC -O 的正弦值.答案及解析：4.证明 ：（Ⅰ）∵D 为AC 的中点，O 为⊙O 的圆心,则OD ∥BC , …………2分 ∵BC ⊂平面PBC ，OD ⊄平面PBC ， …………4分 ∴OD ∥平面PBC 。

…………5分证明：（Ⅱ）∵OC OA =，D 是AC 的中点，∴OD AC ⊥. 又⊥PO 底面⊙⊂AC O ,底面⊙O ，∴PO AC ⊥， …………7分 ∵ODOP O =,PO OD ,⊆平面POD ，∴⊥AC 平面POD , …………9分∵AC ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面POD ； …………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面⊥POD 平面PAC ，在平面POD 中，过O 作PD OH ⊥于H ，则⊥OH 平面PAC 。

过H 作HQ PC ⊥,垂足为Q ,连结OQ ， 则由三垂线定理得OQ PC ⊥,∴HQO ∠是二面角A PC O --的平面角.…………12分 在POD Rt △中， 3222412122=+⨯=+⋅=OD PO OD PO OH , 在Rt △PDC 中,可求得23HQ =,∴在Rt △OQH 中,3OQ ==,∴sin OH HQO OQ ∠==.即二面角A PC O --． …………15分5.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，2=AC ，32=BD ，且AC ，BD 交于点O ，E 是PB 上任意一点．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若E 为PB 的中点，且二面角A -PB -D 的余弦值为721，求EC 与平面PAB 所成角θ的正弦值．5.（1）因为DP ⊥平面ABCD ，所以DP ⊥AC ，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，又BD ∩PD=D ，∴AC ⊥平面PBD ，因为DE ⊂平面PBD ，∴AC ⊥DE ． （4分） （2）连接OE ，在△PBD 中，EO ∥PD ，所以EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， （5分）设PD=t ，则A （1，0，0），B （0，0），C （﹣1，0，0），E （0，0，），P （0t ）．设平面PAB 的一个法向量为=n （x ，y ，z ），则错误！未找到引用源。

，令错误！未找到引用源。

，得)32,1,3(tn =， 平面PBD 的法向量=m （1，0，0），因为二面角A ﹣PB ﹣D 的余弦值为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

， 所以错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

（舍）， （9分）则错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

， ∴EC 与平面PAB 所成角θ的正弦值为742． 6.如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，π2ABC =BAD ∠∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（I ）求证：CE ∥平面PAB ；（II ）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DM 所成角最小时，求线段BQ 的长．答案及解析：6.(Ⅰ) 证明：连接BM ，ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点， 所以12ME AD =，ME //AD ， 所以BC //ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE //BM ．…………………………………………………………………3分 又因为BM ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE //平面PAB ． …………………………………………………………4分 (Ⅱ)解：如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,0,1)M ．………………5分所以(1,0,2)BP =-，(0,2,1)DM =-，设(,0,2)BQ BP λλλ==-，01λ≤≤， ………………………………………6分 又(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，所以cos ,CQ DM <>=．……7分设1t λ+=， 则1t λ+=，[1,2]t ∈，所以2224cos ,55106t CQ DM t t <>=⋅-+，2241cos ,61055CQ DM t t<>=⋅-+， 当且仅当156t =，即15l =时，|cos ,|CQ DM <>取得最大值， 即直线CQ 与DM所成角取得最小值，此时155BQ BP ==．……………10分7.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,2AD DC CB ===,。

60=∠ABC ,平面ACEF ⊥平面ABCD ,四边形ACEF 是矩形,2AE =.。

(1)求证: BC ⊥平面ACEF ；。

(2)求二面角B -EF -D 的余弦值. 7.（1）在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，2AD DC CB ===,。

60=∠ABC∴四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴又∵ 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE（2）由(1)知,以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, 则)0,0,0(C,(0,2,0),1,0),(0,0,2),2)B A D F E -，在平面BEF中，2,2),BE FE =-=u u u r u u u r设其法向量为1(,,)n x y z =u r，则112200n BE y z n FE ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u ur ，令1y =，则1z =. 故平面BEF 的一个法向量为1(0,1,1)n =u r.在平面DEF中，FE =u u u r，1(2DF CF CD CF BA =-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设其法向量为2(,,)n x y z =u u r，则22200n BF y z n FE ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩u u r u u u r u ur u u u r ，令2y =-，则1z =. 故平面DEF 的一个法向量为2(0,2,1)n =-u u r.由12cos ,10n n <>==-u r u u r , 知二面角D EF B --的余弦值为1010.8.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC.(Ⅰ)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(Ⅱ)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1?若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由．8.解：(1)证明：连接AC1，BC1，则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1，因为AM＝MB，所以MN∥BC1.又BC1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.(2)作B 1O ⊥BC 于O 点，连接AO ，因为平面BCC 1B 1⊥底面ABC ，所以B 1O ⊥平面ABC ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，3，0)，B (－1，0,0)，C (1,0,0)，B 1(0,0，3)．由1AA ＝1CC ＝1BB ，可求出A 1(1，3，3)，C 1(2,0，3)，设点P (x ，y ，z )，11AC ＝λ1A P .则P (λ1+1，3－λ3，3)， CP ＝(λ1，3－λ3，3)， 1CB ＝(－1,0，3)．设平面B 1CP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0111CB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+λ-+λ.03,03)33(z x z y x 令z 1＝1，解得n 1＝(3，λ-λ+11，1). 同理可求出平面ACC 1A 1的法向量n 2＝(3，1，－1)．由平面B 1CP ⊥平面ACC 1A 1，得n 1·n 2＝0，即3＋λ-λ+11－1＝0， 解得λ＝3，所以A 1C 1＝3A 1P ，从而C 1P ∶PA 1＝2.9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为BC ， PA 的中点，且1AB AC ==，AD =（1）证明：MN ∥平面PCD ；（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在(0,)6π内变化时，求二面角P -BC -A 的取值范围.9.(1)取PD 得中点Q,连接NQ,CQ,因为点M,N 分别为BC,PA 的中点，,21,////CM AD NQ CM AD NQ ==∴ CQ MN CQNM //∴∴为平行四边形，四边形，PCD MN PCD CQ PCD MN 面面面又//,,∴⊂⊄，(2)连接PM,因为2,1===AD AC AB ,点M 为BC 的中点，则,,,,BC PM ABCD PA BC AM ⊥⊥⊥则面又θ的平面角，设为为二面角A BC P PMA --∠∴，以AB,AC,AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0),M(02121，，),P(θtan 2200，，)， 设平面PBC 的一个法向量为=(x,y,z),则由0,0=⋅=⋅PM n BC n ，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-0tan 2221210θz y x y x 可取60,sin 22tan 221sin 2παθθα<<=+==∴ 22sin 0,21sin 0<∠<<<∴AMH α, 0044P BC A ππθ∴<<--，即二面角取值范围为（，）.10.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =12AA =，BD DC λ=.（1）若1λ=，求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；（2）若二面角B 1 - A 1C 1-D 的大小为60°，求实数λ的值.10.解：分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)A D =-，设平面111AC D 的法向量为(2,0,1)n =，又111cos ,||||3DB n DB nDB n === 所以直线1DB 与平面11AC D （2）∵BD DC λ=，∴24(,,0)11D λλλ++，∴11(0,4,0)AC =，124(,,2)11A D λλλ=-++， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩，所以1(1,0,1)n λ=+.又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121cos ,2n n <>=，12=，解得1λ=或1λ=（不合题意，舍去），所以实数λ1.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。