一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。

故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。

六、混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例7．（2002年高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）解：本试题属于均分组问题。

则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。

例8．（2003年高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C.七．相同元素分配——档板分隔法例9．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。

请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。

解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。

八、顺序固定用“除法”对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例10、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。

故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。

(或A63种)例11、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。

(也可以是A77 ÷A33种)九、一一对应法：例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。

二、随机变量及其分布列1．离散型随机变量：可以一一列出。

2．离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,i x x x ，X 取每一个值(1,2,)i x i =的概率()i i P X x p ==，则下表称为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。

性质：0,(1,2,)i p i ≥=，概率之和为121i p p p ++++=。

离散型随机变量的数学期望：()n n p x p x p x X E +++= 2211离散型随机变量的方差:()()()()()()()n n p X E x p X E x p X E x X D 2222121-++-+-=（2）两点分布:（3）二项分布：在独立重复试验概率公式中，若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()k n k k n q p C k X P -==，其中n k ,2,1,0=。

称这样的离散型随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，记作()p n B X ,~。

（4）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰好有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为()k n kM N MnNC C P X k C --==，0,1,2,,k m =，其中min{,}m M n =，且*,,n N M N N ≤∈，此时称分布列为超几何分布列。

分布数学期望方差二点分布 ()p X E = ()pq X D =二项分布 ()np X E = ()()p q npq X D -==1超几何分布()NnMX E =（6）正态分布：正态变量概率密度曲线函数表达式：()()R x ex f x ∈⋅=--,21222σμσπ，其中σμ,是参数，且+∞<<-∞>μσ,0。

如下图：X 1x 2x (i)x ……P1p 2p …… i p…… 1－pX P0 1 p例1：已知随机变量X 的分布列为：X －2 －1 01 2 3P 1121413112 16 112分别求出随机变量2121,2Y X Y X ==的分布列。

解：12,Y Y 分别是X 的函数，而X 函数关系可用表的形式表示出来，然后再写出分布列。

首先列出如下表格：X －2 －1 0 1 2 31Y －1 12- 0 121 322Y41149P112 1413 112 16 112 从而由上表可得两个分布列112Y X =－112- 0 12 1 32P1121413 112 16 11222Y X =149P13 13 14 112例2．某种彩票的开奖是从1，2，3，…，36中任意选出7个基本，凡购买的彩票上的7个中有4个或4个以上基本含有基本数 4 5 6 7 中奖等级四等奖三等奖二等奖一等奖解.527297368526(5)(5;7,7,36)8347680C C P X H C ==== 61729736203(6)(6;7,7,36)8347680C C P X H C ====707297361(7)(7;7,7,36)8347680C C P X H C ==== 故至少中三等奖的概率为 8730(5)(5)(6)(7)8347680P X P X P X P X ≥==+=+==例3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：（1）记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望()E X ； （2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.解．（()0123 1.58888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=或()3 1.52E X =⨯=（2）乙至多击中目标2次的概率为3332191()327C -=（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件1B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ,则12A B B =+,1B 、2B 为互斥事件，1231121()()()8278924P A P B P B =+=+=例4．高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为12，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率； （2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X 的概率分布列和期望。

解（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率 3545555551111()()()2222P C C C =++= （2所以 ()12345248161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【跟踪训练】 1、（2011•文数）工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归方程为=50+80x ，下列判断正确的是 ② ①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．1解答：解：劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确． ①④不满足回归方程的意义． 故答案为：②． 2、（2011•理数）某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他子的身高为 185 cm ．2解答：解：设X 表示父亲的身高，Y 表示儿子的身高则Y 随X 的变化情况如下；建立这种线性模型： X 173 170 176 182 Y 170 176 182？ 用线性回归公式，求解得线性回归方程y=x+3 当x=182时，y=185 故答案为：185 3、（2011•理数）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 3解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况 一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×= 则甲获得冠军的概率为 故选D4、（2010理数）7.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ）A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586 D0.1585 4．B ．1(34)(24)2P X P X ≤≤=≤≤=0.3413，(4)0.5(24)P X P X >=-≤≤=0.5-0.3413=0.1587． 5、（2010理数）8.为了迎接2010年亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。