分析法:
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数
值计算提供比较依据；b 局限性很大，对复杂的
问题无法求解；c 分析解具有普遍性，各种情况 的影响清晰可见
数值计算法 有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近 似方法。在很大程度上弥补了分析法的缺点，适 应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低。 数值解法： 有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-lement） 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
(2) 外部角点
如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅 代表 1/4 个以 x、y为边长的元体。假设边界上有向 该元体传递的热流密度为 qw，则据能量守恒定律得 其热平衡式为：
tm1,n tm,n y tm,n 1 tm,n x x 2 y 2 xyΦ x y m,n qw 0 4 2 x y x 2Φ 2xqw 1 m,n tm , n tm 1,n tm,n 1 2 2
tm,n1 tm,n x y x y 2 x tm,n1 tm,n x Φm,n y yqw 0 2 y 2 tm1,n tm,n
x y
tm , n x 2Φ 2xqw 1 m,n 2tm 1,n tm,n 1 tm,n 1 4
tm , n 1 (tm 1,n tm 1,n tm ,n 1 tm ,n 1 ) 4
（4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭
代解法，传热问题的有限差分法中主要采用
迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温
度场预先设定一个解，这个解称为初场，并
在求解过程中不断改进。
从所有方向流入控制体的总热流量＝0
e w n s 0
tm1,n tm,n tm1,n tm,n w y e + y x x
tm,n 1 tm,n tm,n 1 tm,n n + x s + x =0 y y
t x 2 2t tm1,n tm,n x x m,n 2 x 2 x3 3t 3 6 x m,n x 4 4t 4 24 x m,n
将上两式相加可得
tm 1,n tm 1,n
2 t 2 2tm ,n x x 2
x 4 4t 4 12 x m,n
tm , n
与等号前的 tm,n 合并。
对于 x y 的情形有：
（a）平直边界
2 h x x 2hx 2 2 tm,n 2tm1,n tm,n1 tm,n1 m, n tf
（b）外部角点
x m,n 2hx hx 2 1 tm,n tm1,n tm,n 1 tf 2
（5）求解代数方程组
本例中除 m=1 的左边界上 N 各节点的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立离散 n 方程，共有 (M-1)N 个方程， y 则构成一个封闭的代数方程 y 组。
( m, n)
x
x
m
M
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括 为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值，该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解。
(3) 内部角点
内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条件下

tm1,n tm,n y tm,n 1 tm,n tm,n 1 tm,n x x y 2
q
w
x y tm1,n tm,n y 3xy x y Φm,n qw 0 x 2 4 2
导热问题的数值解法
导热问题数值求解基本思想 内节点离散方程的建立 边界节点离散方程的建立及代数 程的求解
方
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立
节点的离散方程。
2 、掌握内容：数值解法的实质。
求解导热问题的三种基本方法：
(1)实验法; (2)理论分析法；(3)数值计算法 三种方法的特点 实验法: 是传热学的基本研究方法。 a 适应性不好； b 费用昂贵
4.1.2 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
2 例题条件
二维矩形域内稳态无内热
y
源，常物性的导热问题
h3 t f
t0
h2 t f
h1t f
（a）
x
二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问
2t 将上式改写成 2 的表达式，有 x m , n
2t tm1,n 2tm,n tm1,n 2 o ( x ) 2 2 x m,n x
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 2 o ( y ) 2 2 y m,n y
为了求解方便，将第二类边界条件及第三类边界条件合并 起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。 为使结果更具一般性，假设物体具有内热源Φ( 不必均匀分 布)。
qw
y
x
4.3.1 边界节点离散方程的建立
(1) 平直边界上的节点 边界节点 (m,n) 只代表半个元体，若边界上有向该元 体传递的热流密度为qw ，据能量守恒定律：
分析解法与数值解法的异同点：
• 相同点：根本目的是相同的，即确定： ① t=f(x,y,z) ； ②热流量。 • 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标 系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解 法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散 点的数值。
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想
题采用数值解法的步骤：
（1）建立控制方程及定解条件
控制方程（即导热微分方程）
2t 2t 2 0 2 x y
y
h3 t f
t0
h2 t f
h1t f
x
（2）区域离散化（确立节点） 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域 划分成若干个子区域，用网格线的交点作为 需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结 点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的 ( 标号 m ， n 表示。 N
化简得 tm1,n 2tm,n tm1,n x
2

tm ,n 1 2tm ,n tm ,n 1 y
2
0
说明：
① 上述分析与推导在笛卡儿坐标系中进行的；
② 热平衡法概念清晰，过程简捷； ③ 热平衡法与建立微分方程的思路与过程一致， 但不同的是前者是有限大小的元体，后者是微 元体。
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n
来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
t x 2 2t tm1,n tm,n x x m,n 2 x 2 x3 3t 3 6 x m,n x 4 4t 4 24 x m,n
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的 温度tm-1,n
各项系数在整个求解过程中不再变化；
2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新。 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是
否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计
算所得之解的偏差是否小于允许值。
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热 应力及热变形等。
4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因 为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
对于第二类或第三类边界条件的导热问题，所有内节点的 离散方程组成的代数方程组是不封闭的，因未知边界温度， 因此应对边界上的节点补充相应的代数方程，才能使方程组 封闭，以便求解。
因此，对于数值分析计算所得的温度场及其 它物理量应作详细分析，以获得定性或定量 上的结论。
4.2 内节点离散方程的建立方法 (1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 控制容积平衡法(热平衡法)
4.2.1 泰勒级数展开法
f ( x) f ( x) 2 f ( n ) ( x) n f ( x x) f ( x) x x x 1! 2! n!
1 (tm 1,n tm 1,n tm ,n 1 tm,n 1 ) 4
一阶
4.2.2 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守
恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理
现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依 据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
m, n)
相邻两节点间的距离 称步长。
n
y
y x
x
m
M
基本概念：网格线、节点、界面线、步长、 控制容积
N
(m,n)
n
y
y M
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题