线性回归的显着性检验
1.回归方程的显着性
在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量人,乂2，…，x p之间确有线
性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量
X「X2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。

因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。

设随机变量丫与多个普通变量x1, x2^ ,x p的线性回归模型为
其中；服从正态分布N（0,；「2）
对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i,X2，…,X p从整体上对随机变
量y是否有明显的影响。

为此提出原假设如果H。

被接受，则表明随机变量y与x「X2，…，X p的
线性回归模型就没有意义。

通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。

正
态随机变量y i,y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：
n n n
S r f （y—y）2为总的偏差平方和，S R=為（懈-y）2为回归平方和，S E f （% - ？）2为残
i 1i# im
差平方和。

因此，平方和分解式可以简写为：
回归平方和与残差平方和分别反映了b = 0所引起的差异和随机误差的影响。

构造F检验统计量则利用分解定理得到：
在正态假设下，当原假设H o ：b i =0, b2 =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n -p-1）的F分布。

对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。

，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。

实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。

复相关系数R定义为：
平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为0空R乞1。

R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。

2.回归系数的显着性
若方程通过显着性检验，仅说明b o，b i，b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。

若某个系数b^0，则X j对y
影响不显着，因此我们总想从回归方程中剔除这些次要的，无关的变量。

检验X i是否显着，等于假设
已知N[B,；「2(XX)J]，记(XX)，( C j) i, j =0,1,2,…，p,可知b j ~N[b j,c 产2],
j =0,1,2，…p,据此可构造t统计量
其中回归标准差为
当原假设H°j:b j=0成立时，则t j统计量服从自由度为n-p-1的t分布，给定显着性水平〉，当tj>^2时拒绝原假设H°j:b j= 0,认为X j对y影响显着，当耳<02时，接受原假设 H 0j : b j = 0，认为X j对y影响不显着。