2.方差的方根即标准差
S 2
2
(X X)
N
例如：利用定义公式求：5、6、8、6、4 的方差和标准差。
解：
(1) 求平均数：X X 5 6 8 6 4 5.8
N
5
(2) 方差：
2
(X X)
S2
[(5 5.8)2 (6 5.8)2 (8 5.8)2
N
Hale Waihona Puke 6 5.8)2 (4 5.8)2 ] 5 1.77
A：60 65 70 75 80 B：50 60 70 80 90 两个组的集中量指标算术平均数都是 70，但 A 组数据的变异明显大于 B 组 的变异，A 组的全距是 20（最大值减去最小值），而 B 组的全距是 40。所以要全 面描述一组数据的分布特征，既要用集中量指标，也要用差异量指标。
二、方差和标准差的概念及其计算 描述一组数据的分布特征，需要用到集中量指标和差异量指标。集中量
X a，这个样本是来自 0 这一已知总体
吗？或者说这个样本所代表的总体平均
数和已知总体平均数 0 相等吗？这就是
假设检验所要解决的问题。其逻辑原理
是，视 X a 在以 0 为中心的平均数抽样分
布上出现的概率大小而定。若样本平均数 X a 在以 0 为中心的抽样分布中出现
的概率较大，则认为样本所属总体和已知总体为同一总体；若样本在抽样分布中
1、假设H o：1 2 H1：1 2
2、选择检验统计量并计 算其值 假定总体为正态分布， 未知，独立大样本，故采用 Z 检验
Z X1 X 2 83 80 2.42
S12
S
2 2
62 52
n1 n2
50 48
3、确定检验形式
采用双侧检验。
4、统计决断
∵|Z|=
＞1.96=Z0.05
念包括以下几层意思： （1）两个变量间存在着变化关系，即一个变量变化时，另一个变量也会发
生变化； （2）两个变量的变化关系不精确、不稳定、不能用函数式表示； （3）两个变量间互为因果关系。 2、相关关系的类型 从两个变量的变化方向上分： （1）正相关：两个变量变化方向一致；
（2）负相关：两个变量变化方向相反； （3）零相关，两个变量变化方向无规律。 3、从密切程度上分 （1）高度相关； （2）中度相关； （3）弱相关。 相关系数 相关系数是表示两个变量之间的变化方向及密切程度的统计指标。 样本相关系数用 r 表示，总体相关系数用 表示。
2 ( f0 ft )2 ft
f
为实际频数，
0
f
为理论频数
t
。
例如：对 100 人进行某一态度问题的调查，60 人否定，40 人肯定。现在问 肯定人数与否定人数差异是否显著？
检验：
1.假设 H 0 ：肯定与否定人数差异不显著；
H1 ：肯定与否定人数差异显著。
2.计算卡方值 根据肯定与否定人数无显著性差异的零假设，肯定与否定人数的理论频数均 为 100/2=50。
上讲数学与物理成绩是否存在相关？
检验：
（1）假设 H 0 : 0
H1 : 0
（2）选择并计算统计量
0,且n 100 50用Z检验
Z
r n 1 1 r2
0.65 100 1 1 0.652
11.2
（3）统计决断
Z 11.2 ** 2.58 Z0.01 P 0.01
因此，在职 0. 01 水平上拒绝零假设，接受备择假设。结论为学生的物理 成绩与数学成绩存在正相关。
分布特征的统计方法。包括：编制统计表；绘制统计图；计算各种统计量：集中
量、差异量、相关系数量等。 根据样本所提供的信息，运用概率理论进行论证，在一定可靠程度上对总体
分布特征进行估计、推测，这类统计方法叫做推断统计。推断统计的特征有三点： 推断总是根据样本信息对总体进行推断； 推断总是依据一定的概率理论进行推断； 推断总是在一定置信度上的推断。 推断统计又可分为参数估计和假设检验。最常用的推断统计方法是假设检
(3) 标准差：S S 2 1.33
三、假设检验的逻辑原理 常用的推断统计是假设检验。现以平均数的显著性检验为例来说明假设检验 的逻辑原理。 以平均数为例，看假设检验的基本原理。从已知总体中抽出的容量为 n 的一 切可能样本的平均数形成的分布如右图，这就是平均数的抽样分布。当总体为正 态分布时，平均数的抽样分布也符合正态分布。现有一个随机样本，其平均数为
验。 5.集中量与差异量 集中量：是表示一组数据典型水平或集中趋势的量。集中量是一组数据整体
水平的代表值。不同群体间学生成绩比较时，需要用集中量指标。常用的集中量 指标有算术平均数、中位数、众数。
差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。常用的差异 量指标有方差、标准差和差异系数。从下列两组数据可以看出，描述一组数据分 布特征仅用集中量指标是不够的，还需用差异量指标。
根据研究资料的性质，研究资料可以分为质性研究资料和量化研究资料。对 研究资料的整理和分析就相应的分为：质性研究资料的整理与分析和量化资料的 整理与分析。
第一节 定量资料的整理与分析
一、定量资料分析中的几个基本概念 1.随机变量 在相同条件下进行试验或观察，其可能结果不止一个，而且事先无法确定， 这类现象称为随机现象。表示随机现象中各种可能结果（事件）的变量就称为随 机变量。教育研究中的变量，大多数都是随机变量。如身高、智商、学业测验分 数等。 2.总体和样本 总体是具有某种或某些共同特征的研究对象的总和。样本是总体中抽出的部 分个体，是直接观测和研究的对象。例如，要研究西安市 5 岁儿童的智力发展问 题，西安市的 5 岁儿童就是研究的总体，从中抽取 500 名儿童，这 500 名儿童就 成为研究的样本。 3.统计量和参数 统计量：反映样本数据分布特征的量称为统计量。例如：样本平均数、样本
（6） 样本容量n 30(或n 50)。
3、积差相关系数的定义公式
即r ( X X )(Y Y ) n x y
例： 表 10 个学生初一（X）与初二（Y）数学分数积差相关系数计算表
序号 X
Y X X Y Y ( X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
（1） （2） （3） （4） （5）
最常用的指标是算术平均数，这在小学里都已经学过，这里不再赘述。最常用的 差异量指标是方差和标准差。这里简单介绍方差和标准差的概念及其计算方法。
1.方差：是一组数据离差平方的算术平均数（用 表示）。
定义公式为：
2
S2 (X X) N
X X：为离差；
( X X )2：为离差平方和 。
N为数据个数
当总体标准未知时，应当使用 t 检验。 五、平均数差异的显著性检验（独立大样本） 平均数差异的显著性检验，也就是根据两个样本信息，对两个样本所代表的 两个总体平均数之间是否有差异，所进行的检验。 例如：在一次教学方法的实验研究中，实验后的测试结果为：实验班 50 名 学生的平均分是 83、标准差是 6；对照班 48 名学生的平均分是 80，标准差为 5。 试问，实验班的成绩与对照班的成绩有无显著性差异？ 检验：
2 ( f0 ft )2 (60 50)2 (40 50)2 4
所以
ft
50
50
3、统计决断
因为
2
4 3.84
2 (1)0.05
所以 P＜0.05 因此在 0.05 水平上拒绝零
假设，接受备择假设。结论为，肯定与否定人数差异显著。
七、 相关分析
相关的概念 1、相关关系 相关关系：两个变量之间不精确、不稳定的变化关系就是相关关系。这一概
（二）相关系数检验的基本原理
只有 r 在以 0 为中心的抽样分布上出现的概率很小时，才能认为 X 与 Y
有相关关系。 （三）相关系数检验的方法 1、 H 0 : 0 时相关系数的显著性检验 （1）当 n 50时， r 的离差统计量近似正态分布：
Z
r n 1 1 r2
【例题】：随机抽取 100 名学生的数学与物理成绩，求得 r 0.65，问从总体
相关系数的取值范围： 1 r 1 正负号表示变化方向，绝对值表示密切程度。
如：r 0.70与r 0.3含义不同。
积差相关 积差相关的概念与使用条件
1、积差相关的概念 积差相关：是指具有线性关系的两个正态连线变量的相关 2、积差相关的作用条件 （1）两个变量都是由测量而获得的连续型数据； （2）两个变量的总体都是正态分布或接近正态分布； （3）数据必须是成对的，且各对之间相互独立； （4）两个变量间呈线性关系 （5）要排除共变因素；
（6）
（7） （8）
1
74
76
3
3.7
11.1
9 13.69
2
71
75
0
2.7
0
0
7.29
3
72
71
1 －1.3
－1.3
1
1.69
4
68
70 －3 －2.3
6.9
9
5.29
5
76
76
5
3.7
18.5
25 13.69
6
73
79
2
6.7
13.4
4 44.89
7
67
65 －4 －7.3
29.2
16 53.29
∴P ＜0.05
因此，在 0.05 水平上拒绝零假设，接受备择假设。结论为实验班的成绩与
对照班的成绩差异极其显著。
六、卡方检验 对总体平均数之间是否有差异所进行的检验，被称为参数检验。常常适
用于教学实验研究。而对调查资料，常常需要运用非参数检验的方法进行检验。 最常用的非参数检验就是卡方检验。
2 检验的统计量
第十章 研究资料的整理与分析
本章学习目标： 1.理解量化资料整理与分析中的几个基本概念。 2.掌握几种常用的量化分析方法。 3.掌握质性资料的整理分析方法。