一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln lnx+2x-2x+22-x2．()02lim1cos t t xx e e dtx-→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________.14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01yDD x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x +→18.求不定积分.19.计算定积分I=.a ⎰20.设方程2zx 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．要做一个容积为v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？22.计算定积分20sin x xdx π⎰23.将二次积分⎰⎰ππ=0x2dy yy sin dx I 化为先对x 积分的二次积分并计算其值。

五、应用题（本题9分） 24.已知曲线2y x =，求（1）曲线上当x=1时的切线方程；（2）求曲线2y x =与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积x V . 六、证明题（本题5分）25．证明：当x>0时，ln(1x x参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．答案：B2．答案：A3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）6．答案：13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．答案：1a q- 8．答案：09．答案：141011．答案：（1，2）12．答案：312x Cx -+ 13．答案：ln 2a =14．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭15．答案：()2114e --三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16. 答案：()1ln 1xx dx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭17．答案：-1 18C 19. 答案：24a π20. 答案：2''xy z z22x Z Z 2e 2e xy z x x -==--，四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．答案：0020V r h r π===22．答案：24π23. 答案：1五、应用题（本题9分） 24. 答案：（1）y=2x-1（2）112，30π（2）所求面积()131221121(124312yS dy y y⎡⎤+==+-=⎢⎥⎣⎦⎰所求体积()1222111325630xV x dxπππππ=-⋅⋅⋅=-=⎰六、证明题（本题5分）25．证明：()ln(1'()ln(ln(ln(1'()ln(0f x x xf x xxxxxf x x=+∴=++=+=>∴+>∴=+>故当0x>时()f x单调递增，则()(0),f x f>即ln(1x x>三．解答题 (每小题7分共28分)16 计算1234lim()3→++x x xxx解原式=()001234ln234ln3ln lim lim3limx x x x x xx xAx xxe e e→→⎛⎫++++-⎪⎪⎝⎭→==002ln23ln34ln4ln2ln3ln4 lim lim2343x x xx x xx xA→→++++===++原式===17．设21sin()xtf x dtt=⎰，求10()⎰xf x dx解显然2222sin2sin(1)0,()x x xf f xx x'===原式=11122200111()()()222f x dx x f x x f x dx'⎡⎤=-⎣⎦⎰⎰() 11222210011112sin sin cos cos11 2222x x dx x dx x=-=-==-⎰⎰18．设()23,w f x y z xyz=++，f具有二阶连续偏导数，求2,w wx x y∂∂∂∂∂解令23,u x y z v xyz=++=，则''12w w u w v f f yz x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂ ()()''2''''''''''122111*********f f w zy zf f f xz zy f f xz zf x y y y∂∂∂=++⋅=++++∂∂∂∂ ()''''2'''111222222f x y zf xyz f zf =++++19．求摆线⎩⎨⎧≤≤--=-=)(,cos 1sin πϑπϑϑϑy x 的弧长L解L ππππθθ--==⎰⎰024sin 8cos 822d πππθθθθ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰四 综合题（共18分）20．修建一个容积等于1083m 的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的表面积最小，并求出它的最小表面积。

解 设水池长、宽、高分别为,,x y z ()m ,则问题是在条件(),,108x y z xyz ϕ=- 下，求函数 ()220,0,0S xy yz zxx y z =++>>>的最小值，作Lagrange 函数()(),,22108L x y z xy yz zx xyz λ=+++-解方程组 2020220108x yz L y z yz L x y xz L x y xy xyz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=⎩得唯一可能极值点 ()6,6,3，由实际问题知表面积最小值存在，所以在长为6m ,宽为6m ，高为3m 时，表面积最小,最小值为1082m . 21．21、若()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内有二阶导数，求证（1）存在()0,12ξ∈，使[](1)2(12)(0)(12)()/2f f f f f ξξ''-+=+- （2）存在()0,1λ∈，使(1)2(12)(0)()/4f f f f λ''-+= 证明 （1）设()[](12)()0,12F x f x f x x =+-∈，则()F x 在[]0,12上满足Lagrage 中值定理条件，所以，存在()0,12ξ∈，使()[][]12(0)()/2(1)(12)(12)(0)F F F f f f f ξ'-==---[](1)2(12)(0)(12)()/2f f f f f ξξ''=-+=+-（2）由已知还有，()f x '在()(),120,1ξξ+⊂内可导，再次用Lagrage 中值定理 所以，存在()(),120,1λξξ∈+⊂，使(12)()()/2f f f ξξλ''''+-=结合（1）有[](1)2(12)(0)(12)()/2()/4f f f f f f ξξλ''''-+=+-=试题及答案一、单项选择题1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则x b x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6π，则 。

A 、236cos),(00==πy x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ；C 、336),(00==πtg y x f x ；D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。

3．0lim =∞→nn u是级数∑∞=0n n u 发散的 。

A 、 必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既非充分又非必要。

4．在区域D ：220x R y -≤≤上的σd xy D⎰⎰2值为 。

A 、2R π； B 、24R π； C 、332R π； D 、0。

5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解 。

A 、x y 2=；B 、2x y =； C 、x y 2-=； D 、2x y -=。

二、 是非判断题（15分）1．⎰+-L y x ydx xdy 22=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（ ） 2．如果x∂∂ϕ，y ∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（ ）3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为σd y x f D⎰⎰),(。