= rp0 r r
+ =
apr1r0¢+
a2
+ r
a3
+ 2a2 + 3a3 =
r = p1 pr1¢
30
三、Hermite插值曲线
写成矩阵形式，得：
rr
解
得： r
é1
êê1
ê0 êë0
0 1 1 1
0 1 0 2
0ù
1úú
0ú 3úû
éêêêêëaaaarrr1023
ù ú ú ú ú û
=
é ê ê ê ê ë
=
d k pr du k
×
æ çè
du dt
k
ö ÷ ø
二、参数变换（重新参数化）
域变换不仅使曲线上的点和参数域内点的
对应关系不变，而且若保持曲线的方向
不变，即du > 0 就可以保证高阶导矢的 方向不变，dt 仅模长发生变化。即：
d k pr dt k
=
d k pr du k×ຫໍສະໝຸດ æ çèdu dt
k
2、逼近（Approximation）：构造一条曲 线（或一张曲面）使之在某种范数意义 下最接近给定的数据点，称作曲线（曲 面）逼近。
3、拟合：逼近和插值统称拟合。
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一、基本概念
P1 P0
Interpolating Curve
P3
P2
P4
P1
P3
P0
P2
P4
Approximating Curve
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二、数据点的参数化
不同的参数化方法得到的多项式参 数曲线也不相同。
Chord­ length
[0,8]
[0,1] [0,1]
[0,1]
Uniform
[0,1]
[0,3] [0,1]
[0,4]
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二、数据点的参数化
1、主要的参数化方法：
（1）均匀（Uniform）参数化：
即：
△i＝ui＋1－ ui＝正常数，
i ＝0，1，…n－1。
这样的参数化使参数节点在参数轴上等距 分布，但由于数据点之间的距离并不一定相 等，所以导致弦长短的一段膨胀的很严重，甚 至出现尖点或自交点；而弦长长的一段曲线角 扁平。
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二、数据点的参数化
而用不超过n次的参数多项式曲线去插值给 定的n＋1个点，必须首先给这n+1个点赋予 相应的参数值ui，使其形成一个严格递增的
序列：⊿u：u0<u1<…<un,称作对于参数 u的一个分割，对一组有序数据点决定 一个参数分割与之对应的过程称为数 据点的参数化。参数化的方法有多 种，不同的的参数化方法得到的插值 曲线形状可能是不一致的。
P = P(u, v), (u, v) Î D 令
ìu
í î
v
= =
u(u v(u
,v ) ,v )
,
¶u ¶u
(u , v ) Î D
且Jacobi行列 式
¶(u, v) = ¶u ¶(u , v ) ¶v
¶v ¹ 0 ¶v
D Þ D 则可以得到以
¶u ¶v r r
(u , v ) Î D 为参数的曲面 P = P[u(u , v ), v Î (u , v )]
i=0 r=0
r )为待插值数据点的r阶切矢；
Hri (u)为Hermite基函数
上式表示一个2k＋1次多项式插值曲线，其中
的Hermite基函数由下式决定：
(s)
Hri (uj ) = dijdrs, 其中u0 = 0, u1=1
Hermite插值仅在两个数据点之间进行，
但它不仅插值两个数据点，而且还插值
p = p[u(t)] r 因为原曲线是正则的，所以 dp
¹
r 0
又
du
¹
0
所以
r dp
=
r dp
×
du
¹
r 0
du
dt
dt du dt
若重新参数化不合适，则可能导致新旧 参数不是一一对应，曲线出现奇点。
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二、参数变换（重新参数化）
特别的，如果u是t的线性函数，则将这种参数
根据插值条件：
å r
p(ui ) =
n
ar juij
=
r pi
j=0
2012年9月11日9时27分
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一、幂基插值曲线
即：
é1 êê1
u0 u1
L L
u0n u1n
ù ú ú
r
é ê ê
ar0 a1
ù ú ú
=
é ê ê
r pr0 p1
ù ú ú
êM M L M ú ê M ú ê M ú
ê êë1 un
第三章 参数多项式的 插值与逼近
2012年9月11日9时27分
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本章内容
• 几何不变性与参数变换 • 参数多项式插值与逼近的基本概念 • 参数多项式插值曲线与逼近曲线 • 张量积曲面 • 参数双三次曲面片
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第一节 几何不变性和参数变换
• 一、几何不变性： 1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的
该曲线在首末端点的切矢必须插值给定的切矢
量：
pr 0¢ 和 pr 1¢
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三、Hermite插值曲线
即 ：
rr
ì ï ï í ï ïî
p r
(0)
=
rp0
ppprr¢¢(((110)))===pprpr11¢0¢
代入曲线方程
得：
2012年9月11日9时27分
rr
ìïïíïïîaaaarrr1100
i = 1, 2,Ln
（4）福利参数化（修正弦长参数化方法）
2012年9月11日9时27分
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二、数据点的参数化
2012年9月11日9时27分
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第三节 参数多项式插值曲线与逼近曲线
一、幂基插值曲线
å 形式： pr(u) = n arju j
其中：arj
j=0
j=0,1,L,n为待定的矢量系数
首先，对数据点进行参数化，确定参数分 割： Du : u0 < u1 < L < un
2012年9月11日9时27分
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二、Lagrange插值曲线
n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象
10个插值点构成的Lagrange插值曲线
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三、Hermite插值曲线
å å 形式：pr(u) = 1 k pri(r)Hri (u)
其中：pri(
变换称为域变换。
例如：曲线
r p(u )
u
Î [u1,
u2
]
要进行域变换，成为：
rr p = p[u(t)]
代入
r p(u )
t Î[0,1]
r 即得 p
只需从 t
= pr[u(t)]
=
t
u2 - u 中解出u u - u1
Î [0,1]
=
u1
+
t (u2
-
u1
)
反之，若要将曲线 pr(t),t Î[0,1] 进行域变换，成为：
2012年9月11日9时27分
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二、Lagrange插值曲线
å 形式：
r
nr
p(u) = pi Li (u)
其中：pri为待i=0插值的数据点；
Li (u)为拉格朗日基函数
在对数据点进行参数化，确定参数分割后，代入 插值条件：
å r
nr
r
p (u j ) = pi Li (u j ) = p j
ö ÷ø
若u＝u（t）不是t的线性函数，则参数变换后高阶 导矢的模长和方向都会发生变化，即：
d
2
r p
dt 2
=
d
2
r p
du 2
æ çè
du dt
ö2 ÷ø
+
r dp du
×
d 2u dt 2
2012年9月11日9时27分
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二、参数变换（重新参数化）
3、曲面的参数变换：设给定的一个正则曲面：
rr
pr0 prppr110¢¢
n
åji º 1 也称权性。这种表示下，曲线
i=0（面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。
我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
k
（2）部分规范基表示：即满足åji º 1, 0 £ k < n
如：
r p(u)
=
r a0
+
r a1 u
其中 j0 = 1
i=0
2012年9月11日9时27分
r p[t(u)],u Î[u1,u2 ]
r 代入 p(t) 即得
只需从 r
u
=
u1
+
t (u2
-
u1 )中解出t
=
u - u1 u2 - u1
p[t(u)],u Î[u1,u2 ]
上述方法常用于样条曲线在进行局部修改是涉及
2012年9月11日9时27分 到的整体参数和局部参数的变换
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d k pr dt k
L
unn
ú úû
ê ë
r an