0
2
1



n1
1
n2
2 n1
M d 0
MM dd n2 M d 2


1 1 2 2
n1 n1 n n
di f xi2, xi1, xi
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7
2、 三弯矩构造法
三次样条插值函数 S( x) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
值S( xi) Mi (i 0,1,, n)
Mi
xi
表示时，使用更方便。 在力学上解释
为细M梁i 在 S处( x的) 弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故
称用由于表S(示x)在区间的算[x法i , x为i三1](弯i 矩0,算1,法,。n 1) 上是三次多项式，
hn
n1 3
Mn

f
x0 , x1 f
xn1, xn
其中
0

h1 h1h n
1
0 ,
hn , 0 hnh0
d1

6(
f
[
x
,
0
x1]
f
x[ , n1
x
n])(h1
h
n)
1
.
可解出 M i (i 0,1,, n) ，方程组的矩阵形式为
2
hi
min hi
,M4
max x[a,b]
f (4) (x)
1in
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16
精品课件！
精品课件！
可见S(x), S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x), f (x)和f (x)
显然若f (x) C4[a,b],则有 max| f (k)(x) S(k)(x)| o(h4k )
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2
(1) S(x), S(x), S(x)都在区间[a,b]上连续 ,即S(x) C2[a,b] (2) S(x)在每个小区间[xk , xk 1 ]上都是三次多项式
则称 S(x)为区间[a,b]上的三次样条函数
(3) 如果函数 f (x)在节点x0 , x1 ,, xn处的函数值为 f (x j ) y j , j 0,1,, n
个方程.可由前面给出的任一种边界条件补充两个方程。
对于转角边界条件，可以导出两个方程
2M 0

M

n1

M1 2M n
6 (f
h1
6
hn
[ (
x f
x, ]
01
f[ n
f x
) 0 x, n1
]).
n
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10
这样可解出 M i (i 0,1,, n) ，从而得 S( x) 的表达式,若令
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项 式,应有4个待定的系数 即要确定 S(x)必须确定 4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制
也要对插值多项式在两端点的状态加以要求
也就是所谓的边界条件:
第一类(转角)边界条件: S(x0 0) m0 S(xn 0) mn------(5)
d 0
6
h1
(
f
[
x
,
0
x
]
1

f
), 0
n
1,
0
则方程组可以写成矩阵形式
dn

6 (
hn
f
n
x x f [ , ]),
n1
n
2

0

1
2




1
n1
2
n
MMM ddd n1 M d 2


背景
L-插值（牛顿插值） 高次插值出现龙格现象
Hermite插值
分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到）
三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例：
1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；
2 木样条的来源。
对 S( x)求导得
S( x)


Mi
( xi 1 2hi
x)2

M
i
1
(
x x 2hi
i
)2

f [xi ,
x ] i 1
hi
6
M (

i 1
M i),
由此可得
h S( 0) f [ , ] i (
x x x 2M M i
i i1 6

),
i
i1
h S( 0) f [ , ] i (
f (x j ) y j , j 0,1,, n 如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数 ,则

S (x j ) y j , j 0, n
lim xxj
S(x)

lim
xxj
S(xj
)
lim
xx_j
S ( x)

lim
x x j
S ( x j
lim
则对任意
x 有[a,b]
f
x

sx

5 384
M 4h4
,
f
x

s x

1 8
M 4h2
,
f
x
s x

1 24
M 4h3
f
x s x


1
2
M 4h
其中hi

xi

xi1, h

max
1in
hi ,


max
1in
Sk
(x)

lim
x xk
Sk 1 ( x)
k 1,2,,n 1 k 1,2,,n 1 ------(8)
lim x xk
Sk( x)

lim
x xk
Sk1 ( x)
k 1,2,,n 1
S(x0 0) m0 S(xn 0) mn 或 S(x0 0) M 0S(xn 0) M n
华长生制作x
x
_ j
S ( x)

lim
x x j
S(x
j
)
y j , j 1, , n ) mj (未知）, j M j (未知）,
1 1,
j

,n 1,
------(2) 1
,n 1
4
共4n 2个条件
S ( x)在[a, b]上必 然是分段函数, 亦即
).
x x x M 2M i1
i i1 6
i
i1
x x 当
x [
,
i 1
]
i
时,
S( x) 的表达式可得,因此有
h S( 0) f [ , ] i1 (

).
x x x M 2M i
i1 i
6
i 1
i
利用条件 S( xi 0) S( xi 0) 得
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9
其中
M M M d i
2
i1
i i
,i 0,1, 2, , n 1,
i1
i
h h
i1 ,
i
i
i 1 i ,
h h h h i1
i
i1
i
d x x x 6 f [ ,
].
i
i1 i, i1
上述方程组是关于 Mi 的方程组,有 n 1 个未知数,但只有 n 1
第二类(弯矩)边界条件 S(x0 0) M0 S(xn 0) M-n-----(6)
S xn 0 Sx0 0 0时，称为自然边界条件
第三类(周期)边界条件 S ( p) (x0 0) S ( p) (xn 0) ------(7)
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S0(x)
S(x)



S1 ( x)
Sn1( x)
x [x0 , x1 ] x [x1 , x2 ]

------(3)
x [ xn1 , xn ]
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的(两点)三次样条插值多项式 ,满足

Sk (xj ) yj
lim x xk
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1
什么是样条:
样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的
1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数
一、三次样条插值函数
定义1. a x0 , x1 ,, xn b为区间[a,b]的一个分割 如果函数 S(x)在区间[a,b]上满足条件 :

hn 1 2
fn

2
2 /3


1 2 1/3
1/3 2 1


m0 m1

2/3 m2
2 m3


g0 g1 g2 g3

解方程组得：m0

17 8
, m1

7 4
, m2


5 4
, m3