第九章欧氏空间［教学目标］1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。

2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。

3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。

4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。

5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。

6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。

［教学重难点］欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。

［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。

［教学时间］18学时。

［教学内容］欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。

[教学过程]§1 定义、性质定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。

这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。

练习：394P 1（1）。

定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =单位向量：长度为1的向量。

α单位化：αα-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。

在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：例1中，22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ例2中，2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3：非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=， πβα≤≤,0。

三角不等式：βαβα+≤+定义4：若0),(=βα，称βα,正交或垂直，记为α⊥β 性质：（1）两个向量正交2,πβα=（2）只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不能与自身正交。

（3）勾股定理：当α⊥β时，222βαβα+=+ 可推广到有限个向量正交的情形：22221221m m αααααα+++=+++ΛΛ 定义5：度量矩阵设V 是数域F 上的n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是它的一组基，V ∈∀βα,，有nn nn y y y x x x εεεβεεεα+++=+++=ΛΛ22112211∑∑∑∑======nj ni j i ij nj ni j i j i y x a y x 1111),(),(εεβα，这里),(j i ij a εε=由于),(),(i j j i εεεε=，故ji ij a a =，令()n n ij a A ⨯=，A A ='则AY X '=),(βα，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X M 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y M 21，则A 称为基n εεε,,,21Λ的度量矩阵。

性质：不同基的度量矩阵是合同的。

证明：设n ηηη,,,21Λ是V 的另一组基，C n n ),,,(),,,(2121εεεηηηΛΛ=，设()n n ij c C ⨯=，则∑==nl l li i c 1εη，∑==nk k kj j c 1εηkj li n l nk k l k n k kj n l l li j i c c c c ),(),(),(1111∑∑∑∑======εεεεηη则()AC C c c B nn n l n k kj li k l nn j i '=⎪⎭⎫⎝⎛==⨯==⨯∑∑11),(,(εεηη。

证毕。

若对0≠∀α，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠000M X ，有AX X '=),(αα>0，则称度量矩阵A 是正定的。

练习：394P 2；作业：1。

§2 标准正交基 一、标准正交基1、定义：在n 维欧氏空间V 中，由n 个向量组成的两两正交的向量组称为正交基，若n 个向量均是单位向量，则称为标准正交基。

由此可知：有正交基得到标准正交基的方法就是把正交基中的向量全部单位化。

2、性质：（1）若n εεε,,,21Λ是标准正交基，则有⎩⎨⎧≠==ji ji j i ,0,1),(εε 即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，反之也成立。

（2）n n x x x V εεεαα+++=∈∀Λ2211,i n i n i i i i i x x x x =++++=),(),(),(),(11εεεεεεαεΛΛ即：n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++=Λ。

若n n y y y εεεβ+++=Λ2211，则Y X y x y x y x y x n n nj j j ni i i '=+++==∑∑==Λ221111),(),(εεβα。

二、标准正交基的求法：设V 是数域F 上的n 维线性空间任一组线性无关的向量均能正交化，任一组正交向量组均能扩充为一组正交基，然后进行标准化（即单位化）即可。

若n ααα,,,21Λ是一组线性无关的向量，令111122221111222231111333111122211),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(--------=--=-==n n n n n n n n n ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ可验证n βββ,,,21Λ两两正交，再单位化，令nn n ββηββηββη===,,,222111Λ，即为要求的标准正交向量组。

369P 例；练习：395P 7；作业：6，9。

三、由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。

证明：n εεε,,,21Λ与n ηηη,,,21Λ是线性空间V 的两组标准正交基，且A n n ),,,(),,,(2121εεεηηηΛΛ=，()n n ij a A ⨯=⎩⎨⎧≠==ji ji j i ,0,1),(ηη 因为：n ni i i i a a a εεεη+++=Λ2211，n nj j j j a a a εεεη+++=Λ2211即⎩⎨⎧≠==+++=ji ji a a a a a a nj ni j i j i j i ,0,1),(2211Ληη 而nj ni j i j i a a a a a a +++Λ2211是A A '的第),(j i 元素，故E A A ='，即A A '=-1。

正交矩阵：我们把满足E A A ='（或E A A ='）的矩阵称为正交矩阵。

四、结论：由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，反之，若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而其中一组基为标准正交基，那么另外一组基也是标准正交基。

§3、同构 一、两个欧氏空间同构 1、定义：R 上的两个欧氏空间称为同构的，如果存在V V '↔:σ（双射）满足：R k V ∈∀∈∀,,βα （1）)()()(βσασβασ+=+ （2）)()(ασασk k = （3）),())(),((βαβσασ=其中，σ称为V 到V '的同构映射 2、性质：（1）具有反身性、对称性、传递性。

（2）同构的欧氏空间有相同的维数，反之，有相同维数的两个欧氏空间也同构。

并且同构的欧氏空间有相同的性质。

因此，以后对一个n 维欧氏空间V ，我们只需要研究与它同构的最简单的欧氏空间n R 即可。

例：数域R 上的n 维欧氏空间V ，n εεε,,,21Λ是V 的一组标准正交基，,V ∈∀α，n n x x x εεεα+++=Λ2211作V 到n R 的双射：n n R x x x ∈=),,,()(21Λασ 令V ∈β，设n n y y y εεεβ+++=Λ2211 （1）)()(),,,(),,,(),,,())()()(()(21212211222111βσασεεεσβασ+=+=+++=++++++=+n n n n n n n y y y x x x y x y x y x y x y x y x ΛΛΛΛ（2）R k ∈∀)(),,,(),,,()()(21212211ασεεεσασk x x x k kx kx kx kx kx kx k n n n n ===+++=ΛΛΛ（3）),(),()),,,(),,,,(())(),((2211221122112121βαεεεεεεβσασ=++++++=+++==n n n n nn n n y y y x x x y x y x y x y y y x x x ΛΛΛΛΛ故数域R 上的n 维欧氏空间V 与n R 同构。

特别地：由同构关系的传递性知，所有n 维欧氏空间都同构。

§4 正交变换 一、正交变换1、定义：设V 是n 维欧氏空间，)(V M A ∈，若V ∈∀βα,，有），（βαβα=),(A A 则称A 是正交变换。

2、等价命题：A 是正交变换⇔V ∈∀α，αα=A ⇔若n εεε,,,21Λ是标准正交基，则n A A A εεε,,,21Λ也是标准正交基⇔A 在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

3、正交变换的分类： 第一类的正交变换：1-=A 第二类的正交变换：1=A作业：395P 11。

§5 子空间定义1：21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，若对21,V V ∈∀∈∀βα恒有0),(=βα则称21,V V 为正交的，记为21V V ⊥1、若对1V ∈∀α，恒有0),(=αβ，则称β与1V 正交，记为2V ⊥β。

2、若21V V ⊥，则对21V V I ∈∀α有1V ∈α，2V ∈α，故0),(=αα，从而0=α，即有}0{21=V V I ，故2121V V V V ⊕=+ 可推广为定理5：若子空间s V V V ,,,21Λ两两正交，则和s V V V +++Λ21是直和。