i , i1 ) (i1, i1 )
i 1
(i=1,2,…,m)
1, 2, …, m 是一组正交组。
2. 单位化
取
1
|
1
1
|
1,
2
|
1
2
|
2
,
,
m
|
1
m
|
m.
则 1, 2 , …, m 是一组正交的单位向量组。
—— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法
它包括正交化和单位化两个过程。
二、向量的长度与夹角
定义2 设 n 维向量=(a1,a2,…,an).称
| | (,) a12 a22 an2 .
为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量 称为单位向量， 当 0时，| | 为一单位向量称为 的单位化。
长度的性质:
,,Rn,R,则 (1) 非负性 || 0,若||=0 = 0; (2) 正齐次性 ||=||·||;
n
n
证: (, j ) ( xii , j ) xi (i , j )
设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利
用这组向量可构造出正交向量组。
1. 正交化
(1) 令1=1；
(2) 求2=211使
0=(2,1)=(211, 1 )
= (2, 1)1 (1, 1) .
得1=(2,1)/(1,1),
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1;
(3) 求3=31122, 使
0=(3, 1)=(311=(23,2,1)1)1(1, 1)+2(2, 1)
注：定义了内积的 n 维向量空 间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.
性质 (1) 交换律
(,)=(,);
(2) 分配律 (, )=(,)(,);
(3) 内积满足如下结合律:
(,)=(,)=(,); R
(2)与(3)等价于
(+,)= (,) (,); 、R (4) 非负性 (,)0, 且(,)=0 =0.
个向量1, 2, …, n 是两两正交的单位向量，即
1.i=j
(i,j)=
0.ij
则称该基为标准正交基。
例如： Rn中， e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),… en=(0,0,…,1)
就是一个标准正交基。
例3
证明
1 (
1, 2
1 2
,0,0), 2
(
1 , 2
1 ,0,0), 2
特别:
, arccos
(, )
.
| || |
当(,)=0时，称与 垂直(正交)
记为 .
定理2 (勾股定理)
设1,2,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向
量，即(i ,j )=0,ij，则
|1+2+…+k|2=|1|2+|2|2+…+|k|2
证: |1+2+…+k|2
= (1+2+…+k ,1+2+…+k)
0=(3, 2) = (31122, 2)
=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)
得
1
(3 , 1 ) (1, 1)
,
2
(3 , 2 ) (2, 2)
3
3
(3 , 1 ) (1, 1)
1
(3 , 2 ) (2, 2)
2
(4) 类似地，得：
i
i
(i , (1,
1 1
) )
1
( (
i, 2,
2 2
故 , arccos 18 arccos 2 .
3 26
24
三、标准正交基
1、正交向量组
定义4
若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记
作 ab。
注：零向量与任何向量正交。
定义5
在欧氏空间中，一组两两正交的向量 组称为正交向量组。
定理4 非零的正交组是线性无关的。
证：设1,2,…,m是一组非零正交组，并设
k
k
kk
k
( i , j )
(i , j ) (i ,i )
i 1
j 1
i1 j1
i 1
=|1|2+|2|2+…+|k|2
例1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与 的长度及它们的夹角<,>. 解： || || (,) 3 2,
|| || (, ) 6
而 (, )=18
3 (0,0,
1, 2
1 2
),
4
(0,0,
1 , 2
1) 2
为 R4 的标准正交基.
证:
(i , i )
(
1 )2 ( 2
1 )2 1,
2
即|i|=1,i=1,2,3,4
且
(1, 2 )
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0，
22 2
2
(1, 3 ) (1, 4 ) 0, (2 , 3 ) (2 , 4 ) 0，
k11+ k22 +…+kmm= 0
用 1 与等式两边作内积，得
0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+…+ki(i,1)+… +km(m,1)
得 k1=0,
类似地：用i ( i=2,3,…, m)与等式两边作内积， 得ki=0, (i=2,3,…,m),故1,2,…,m线性无关。
2、施密特(Schmidt)正交化
(3 , 4 ) 0. 故1, 2, 3, 4为R4的标准正交基.
注：利用施密特正交化方法，可从欧氏 空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。
定理5 若n维向量1,2,…,n 是一组标准正 交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在
基1,2,…,n下的第j个分量为:
x j (, j ), j 1，2， , n.
(3) 三角不等式 ||||||.
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式)
| (, ) | | || |
| (, ) | | || |
向量 和 线性相关.
重要不等式
n
n
n
| aibi |
ai 2
bi 2 .
i 1
i 1
i 1
定义 3
设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为
例2 将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化
成正交的单位向量组
解： (1) 正交化
令 1=1=(2,0)
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
(1,1) 2 (2, 0) (0,1) 4
(2) 单位化
1
|
1
1
|
1
(1, 0),
2 2 (0,1),
则1, 2是一组正交的单位向量组。
3、标准正交基 定义6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n
§4 欧氏空间
在 Rn 中引进内积运算，建立 n 维欧氏空间概念 n 维向量的长度
n 维向量间的夹角 n 维向量间的关系
一、向量的内积 定义1 设 n 维向量
=(x1, x2 …, xn), =(y1, y2…, yn).
定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn
为向量 与 的内积，记为 ( , ). 即( , ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn.