信息光学
标量衍射理论
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一 什么是标量衍射理论？
衍射：按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直 线光路的任何偏离”
光的标量衍射理论的条件 （1）衍射孔径比波长大很多， （2）观察点离衍射孔不太靠近；
经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳 引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定 理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标 量衍射公式
其中
A a exp( jkz cos cos )
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平面波的位相因子和等位相线
和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无 关的两部分
与坐标 x y有关的 exp[ jk(x cos y cos )]是表征平面波特点的线
性位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子， 就可以认为有一个方向余弦为 cos, cos 的平面波经过这个平 面
的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
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光振动的复振幅定义
取最简单的简谐振动作为波动方程的特来自，单色光场中某点在时 刻的光振动可表示成
uP,t aPcos2πν t φP
用复指数函数表示光振动是方便的，上式变成
u P, t Re a P e j2πν tφP Re a P e jφPe j2πν t
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标量波动方程
作为空间和时间函数的电场或磁场分量 u ，在任一空间无源点
上满足标量波动方程
u u
式中
x
y
z
v t
是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度 v εμ
而 、 为介质的介电系数和磁导率。
满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波 都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波
考察与其相距 z z 的平面 x y 上的光场分布。 r 可写为
如果
r
z
x x
y y
z
x
x
y
z
y
x x y y
z
利用二项式展开，并略去高阶项，得到 r z x x y y
z
将近似式代入发散球面波表达式，得到在平面上平面波复振幅
分布为
U x, y
a z
exp jkzexp j-
k z
x x
y
y
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球面波的位相因子和等位相线
发散球面波在平面上产生的复振幅分布的位相因子中包括两项
常量位相因子 exp jkz 与传播距离有关
随平面坐标变化的第二项称作球面波的（二次）位相因子，当平面上 复振幅分布的表达式中包含有下述因子，就可以认为距离该平面处有 一个点光源发出的球面波经过这个平面。
故可将复振幅波动方程化简为
( k )U
其中 k称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为
k v
化简后的波动方程称为亥姆霍兹方程，是不含时间的偏微分方程。
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足这个不含时
间的波动方程。这也就意味着，可以用不含时间变量的复振幅分布
完善地描述单色光波场
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球面波的复振幅表示
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面， 称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合, 它所发出的光波就是球面波的叠加
这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。
球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球 心的距离成反比
exp j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
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平面波在 x y 面上的等位相线
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平面波的复振幅表示
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称 为平面波
如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方向余弦
当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在光场 中任何一点产生的复振幅可写作
U P a e jkr
r a为离开点光源单位距离处的振幅
对于会聚球面波球面波方程指数上加负号
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球面波在平面上的等位相线
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球面波在平面上的复振幅分布
当点光源或会聚点位于空间任意一点时，有
r
x x y y z z
将花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量
U PaPexp jφP
称为单色光场中点的复振幅，它包含了点光振动的振幅和初位相，
仅仅是位置坐标的复值函数，与时间无关
光强可用复振幅表示成 I P - U P UU *
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亥姆霍兹方程
在仅涉及满足叠加原理的线性运算（加、减、积分和微分等）时， 可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一 个阶段对复指数函数取实部，与直接用余弦函数进行运算在同一个 阶段得到的结果是相同的
为 cos, cos , cos ，则平面波传播到空间某点的复振幅的一般表
达式为
U (x, y, z) a exp( jk r)
a exp[ jk(x cos y cos z cos )]
其中 a 为常量振幅。由于方向余弦满足 cos 1 cos2 cos2
于是复振幅可写为 U (x, y) Aexp[ jk(x cos y cos )]
平面波等位相线方程为 x cos y cos C
因此，等位相线是一些平行直线。
前面图中用虚线表示出相位值相差 的一组波面与平面 x y 的
交线，即等位相线；它们是一组- 平行等距的斜直线
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平面波的空间频率
x ，y ，z方向上平面波的空间频率分别定义为
fx
cos
cos fy
fz
cos
空间频率与平面波的传播方向有关，波矢量与轴的夹角越大，则λ
在轴上的投影就越大，也就是在该方向上的空间频率就越小，空
间频率的最大值是波长的倒数 -
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空间频率的物理意义
传播矢量
k
位于
x
,z
从而平面波的复振幅的一般表达式变为
U (x, y, z) a exp[ j (xf x yf y zf z )]
空间频率的倒数即为振荡周期（X，Y，Z）
λ
λ
λ
X cosα ,Y cosβ , Z cosγ
空间频率表示在 x 、y 、z 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次
数。这就是平面波空间频率的物理意义