相干系统的点扩散函数 可看成是复振幅透过率 的光瞳被 半径为di的球面波照明后所得的分布。 称广义光瞳。 就是广义光瞳 的傅里叶变换。
相干传递函数定义为相干点扩散函数的傅里叶变换
由
得
（无像差）
有像差系统的通频带没有变化，截止频率也没有变化，但在通频 带内引入了与频率有关的位相畸变，使像质变坏。 非相干光照明下强度点扩散函数仍然是相干点扩散函数模的平方 但峰值减小。 Strehl Ratio
的频谱函数（相干传递函数）H(ξ ,η )
描述系统的变换特性更为方便。
3.3.1相干传递函数
相干成像系统的物像卷积关系
是几何关系理想像的复振幅分布。ĥ是系统的脉冲响应。 从频域上看，对上式进行傅里叶变换，可得到系统对各种频率成 分的传递特性。
系统的输入频谱 输出频谱 相干传递函数 CTF
已知
说明相干传递函数等于光瞳函数，只是将空域坐标变换为频域坐标 （-λ diξ ,-λ diη ）,通常光瞳都具有中心对称性，正负号无关紧要， 忽略负号后取
因hI是实函数，H是厄密型的，即
因此模是偶函数
辐角是奇函数
3.6相干与非相干成像系统的比较
各有优缺点。 3.6.1截止频率 OTF 的截止频率是CTF的2倍。但是 OTF是随空间频率增大而降低的。而CTF 是在空间频率小于某值前均为1，大于某 值时突变为0。
相干传递函数
3.6.2像强度的频谱
利用卷积定理和自相关定理得到像强度频谱
D为出瞳直径。
相干照明时，两点源产生的艾利斑按复振幅叠加。因而各点的 相位关系对强度分辨影响很大。
Φ ＝0，两点源位相相同，I(x)没有凹陷两点完全不能分辨。 Φ ＝π /2 与非相干光完全相同。 Φ ＝π 时，两点源位相相反。 两点源能否分辨与点源位相有关。
物点的像是一个理想点。
3.1.2衍射受限系统的点扩散函数
不考虑像差，对一个系统来说，系统的衍射限制由系统的孔径光 阑决定。
孔径光阑在物空间成的像称入 瞳，在像空间成的像称出瞳；入瞳 和出瞳保持物像共轭关系，本书采 用出瞳限制约定。（由入瞳限制的 物方光束必定全部通过系统，成为 出射光瞳所限制的像方光束。）
（3.2.1）
式中
物
公式
的意义：
代表理想成像的点扩散函数。 代入（3.2.1）对理想的成像系统得到的像应当是理想的像Ug(xi,yi）
（3.2.2） 理想像的分布形式与物Uo相同，只是xi,yi 方向放大M倍。
令
代入（3.2.1），并用（3.2.2）把Uo换为Ug
（3.2.2）
结论
意义：物Uo(xo,yo)通过衍射受限系统后的像分布Ui(xi,yi)是Uo的理想 的卷积。 像Ug(xi,yi)和点扩散函数 将
由高斯成像公式
为简化公式，因
不影响最终的强度分布，可略去。
像面上的场分布应当等于物面上所有点的贡献的叠加。因而对 要进行分析。因物方点在像面上产生的微小的斑必定
在几何像的中心附近，物和像间有关系xo＝xi/M，yo＝yi/M，
M=-di/do
因而，通过近似后，位相因子与物方坐标（xo,yo)无关。因而不影 响像面上的强度分布。
为一正方形。斜对角处有最大的截止频率。
3.4衍射受限非相干成像系统的传递函数
非相干光照明下，物面上各点的振动彼此独立，各点在像面上 的点扩散函数，由于时间变化的无规则性，相互之间互不相关。因 而只能通过每一点扩散函数取强度后的叠加得到像面的强度分布。 本节讨论非相干成像系统是强度的线性系统且为空不变系统情况。
将M＝－di/do代入
式中
因此
可写为
形式
近轴条件下上式表示的透镜成像系统是空不变的。脉冲函数就 是透镜孔径函数的夫琅和费衍射图样，中心点位于理想像点 。
与几何成像的关系
透镜的衍射作用由孔径与波长比值，孔径与di 比值决定。对 孔径上坐标做变换， 代入h（）
当孔径尺寸比λ di大得多时在
坐标上，可认为在无限大的区域内
因为
得到强度
由于（ξ0，η0）是任意的，可写为一般式
输入余弦函数通过线性空不变系统后仍然得到余弦函数，只 是振幅减小了相位变化了，这种变化与系统的光学传递函数在该 频率处的取值有关。 对比度（调制度）定义 对比度给出了光强变 化和平均光强的比值， 也就是交流成分与直 流成分的比值。
物（理想像）的调制度
成像系统分为三部分: 1.物面――入瞳；2.入瞳――出瞳；3.出瞳――像平面 当像差很小或系统的孔径和视场都不大时，光学系统可看成衍 射受限系统。入射是发散的球面波，出射是会聚的球面波。 有像差时出瞳处的透射波场明显偏离理想的球面波，由波像差描 述。
物面上位于（x0，y0） 的单位脉冲入射，经过系 统后，在像面上的复振幅 分布可表示为以理想像点 为中心的球面波经出瞳孔 径衍射的夫琅和费衍射花 样。
第三章 光学成像系统的传递函数
传统像质评价方法 星点法：依据点光源经过系统形成的能量分布——衍射斑 来评价 像质。缺点：不能定量。 鉴别率板： 是一种定量的方法。在玻璃 板上刻画多组密度不同的平行 线条。通过观察不同线对线条 的对比度来研究系统的分辨率。
图像的质量由多种因素决 定，除了分辨率（分辨多少线 对），还有对比度变化。 系统的像差和离焦状态对 分辨率有复杂的影响（超分辨 现象，某些频率不能分辨但更 高的频率确能分辨）。 光学系统在一定条件下可 看成线性系统，把输入信息分 解成各种空间频率分量。光学 传递函数是在频域中研究各种 空间频率结构成像时，对比度 与位相的变化规律。
坐标上，无限大的区域内
说明忽略光瞳的衍射，物面上的点脉冲通过系统得到的像仍 然是点脉冲。符合几何光学成像原理。
3.2相干照明下衍射受限系统的成像规律
相干照明下物面上分解的无数个点脉冲产生的各个像点在像 面上叠加形成像。由于物面上各点的振动是相干的，因此像面上 各点的振动也完全相干。
物分布 像的复振幅分布
（3.1.10）
代入 得
为衍射受限系统的点扩散函数与光瞳函数关系。
由于系统是空不变的，可用
点的脉冲表示成像系统的特性，即
因此，成像系统的点扩散函数仅取决于光瞳函数。 小结
3.3衍射受限系统的相干传递函数
相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空不变的
系统成像特性由空域中的点扩散函数表征。
在频域中用
衍射受限系统OTF性质 1. 2. 3. H 可由面积计算出来，是实的非负函数，只需计算 MTF，不必考虑PTF。 H(0,0)＝1，是归一化的结果。实际光强要弱于物的零频。 H （ξη）≤ H （0，0），因为两图形错开后重叠面积要减小。
4. 截止频率：ξ、η很大时重叠面积为零， H ＝0
例 孔径为D的圆，计算OTF 解：圆孔在x方向移动λdiξ后，两圆重叠面积
意义：光瞳函数定义为孔内为1，孔外为0。相干传递函数也有这种 性质，即低于某频率为1，可以通过;高于某频率为0，不能通过。
例1 直径D的圆形光瞳，孔径函数
相干传递函数为 为一圆柱函数。圆柱内为1，圆柱外为0。截止频率 ρ c是像方截止频率，对应物方截止频率ρ oc=|M|ρ c 例2 边长为a的正方形，光瞳函数 相干传递函数
因为
☆ 光学传递函数等于相干传递函数H的自相关归一化函数。 而上述结论是从 推导出来，因而，对有像差系统也成立。 系统的像差包含在点扩散函数中。
3.4.3衍射受限的OTF
对于相干照明的衍射受限系统，已知
代入OTF的相关计算式 令 于是得 分母中P2可写做P，因为P只有0和1值。
说明衍射受限系统的OTF是光 瞳函数的自相关归一化函数。 分母是光瞳的面积；分子代表中 心平移的光瞳与原光瞳的重叠面 积S(ξ,η)。
3.4.1非相干成像系统的光学传递函数（OTF）
物面到像面的变换系统是空不变的 。 Ig为几何光学的理想像的强度分布 Ii为像面的强度分布 Io为物面的强度分布 k为常数 hI为强度脉冲响应（非相干脉冲响应，强度点扩散函数），是点物 产生的像斑的强度分布。
强度脉冲响应hI为（相干系统）复振幅点扩散函数的平方
相干传递函数
相干照明下截止频率ρc＝l /2λdi. 非相干照明下截止频率为 2ρc＝l /λdi.
3.5有像差系统的传递函数 无像差系统中，相干照明下的H取值0和1，OTF是非负实函数 ，系统只改变各频率成分的对比度，并不产生相移。实际系统总是 存在着像差。像差的作用使得波面偏离球面波，也就是对各频率成 分的相位产生影响。 对于单位脉冲 经光瞳后出射波与理想的球面波波面间的光 程差W（x,y），对应的位相差kW(x,y)
其中
cosθ＝1时θ＝0，这时有λdiξ=D, 这时重叠面积为0。 相干传递函数（是孔径函数）的截止频率ρc＝D/2λdi。 而光学传递函数OTF的截止频率为2ρc。 相干传递函数 因此
例 衍射受限非相干成像系统的 光瞳为正方孔，边长l。求OTF。 解 光瞳函数为 光瞳总面积So＝l2 .当P(x,y)在 x , y 方向分别移动-λdiξ,-λdiη 后，得P(x+λdiξ,y+λdiη)，重叠面积 即
3.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数
像形成 相干照明下，物面上场分布可看成 无数点源（小面源）组合，各点源在像 面上形成小斑。这些斑对应的复振幅叠 加起来就构成了像。
3.1.1透镜的点扩散函数 物面（x0，y0）上的点单位脉冲， 在像面上产生分布为点扩散函数（脉冲响应）h(x0,y0,xi,yi)。 紧靠物体后的复振幅分布Ｕ0(ｘ0＇,y0＇).
对上述卷积公式进行傅里叶变换 其中
均是强度分布，是非负实函数， 都有0频率分量。光学图像的质量取决于携带有用信息部分的强度 与0频率分量的比值。
因为
归一化后有
所以
称为非相干成像系统的光学传递函数（OTF）
Gi，Gg，H